线性代数：向量组等价和矩阵等价的区别

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。

矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。

如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，

在行列数都相等的情况下，

两矩阵等价实际上就是秩相等，

反过来，

在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。

这与向量组等价略有区别：

向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，

但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。

举个简单例子：

向量组

A:

(1,0,0)，(0,1,0)

B:（0,0,1），(0,1,0)

两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、

而矩阵：

A:

1

0

0

0

1

0

B:

0

0

1

0

1

0

却是等价的

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