什么是复合函数？

除了基本初等函数，都是复合函数。下面是基本初等函数

常函数y=c,c为常数

一次函数y=kx+b,k≠0

二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）

多项式函数f(x)=an·x^n+an-1·x^(n-1)+…+a2·x^2+a1·x+a

幂函数y=x^α(α为有理数）

对数函数y=logax（a>0，且a≠1）

指数函数y=a^x(a为常数且以a>0，a≠1)

三角函数y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x，y=sec x，y=csc x

反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx

来，好好理解：

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠?时，二者才可以构成一个复合函数。

设函数y=f(u) 的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x) 的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

一、定义域

若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是

D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

二、周期性

设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k∈R+）

决定因素

依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

基本步骤

判断复合函数的单调性的步骤如下：

⑴求复合函数的定义域；

⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

⑶判断每个常见函数的单调性；

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

⑸求出复合函数的单调性。

求参数范围

利用复合函数(composite function)求参数取值范围

求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。

求导

复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。

法则1：设u=g(x)

f'(x)=f'(u)*g'(x)

法则2：设u=g(x),a=p(u)

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)

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