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凹凸性判别法是什么?

桃子1年前 (2023-12-03)阅读数 10#综合百科
文章标签函数导数

函数凹凸性的判断方法是:看导数,代数上,函数一阶导数为负,二阶导数为正(或者一阶正,二阶负),便是凸的,一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点,拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。

1、凹函数定义:设函数y =f (x ) 在区间I 上连续,对x 1, x 2∈I ,若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凹的,函数y =f (x ) 为凹函数。

2、凸函数定义:设函数y =f (x ) 在区间I 上连续,对x 1, x 2∈I ,若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凸的,函数y =f (x ) 为凸函数。

凹函数的性质:

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的,也就是二阶导数若存在,则在此区间,二阶导数是大于零的,f就是凹的;即一个凹函数拥有一个下跌的斜率(当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌,也代表这容许零斜率的存在)。

如果一个二次可微的函数f,它的二阶导数f'(x)是正值(或者说它有一个正值的加速度),那么它的图像是凹的;如果二阶导数f'(x)是负值,图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性,这就是一个拐点。

如果凹函数(也就是向上开口的)有一个“底”,在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”,那么那个顶点就是函数的极大值。

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C(区间)上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点X1=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数(该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的,下凸)。

扩展资料:

这个定义从几何上看就是:

在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。 同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。

直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。比如?凹函数就是图像向下凹进去的,比如常见的?。

如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)=0;

一般来说,可按如下方法准确说明:

1、f(λx1+(1-λ)x2)=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即A型,为“凹向原点”,或“上凸”(下凹),(同样有的简称凹有的简称凸)

常见的凸函数

1 指数函数 eax

2 幂函数 xa,x∈R+,1≤a或者a≤0

3 负对数函数 - log x

4 负熵函数 x log x

5 范数函数 ||x||p

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的,f就是凹的;即一个凹函数拥有一个下跌的斜率(当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌,也代表这容许零斜率的存在。)

如果一个二次可微的函数f,它的二阶导数f'(x)是正值(或者说它有一个正值的加速度),那么它的图像是凹的;如果二阶导数f'(x)是负值,图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性,这就是一个拐点。

如果凹函数(也就是向上开口的)有一个“底”,在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”,那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的,那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数,但相反而言又不一定正确。

参考资料:

百度百科——凹函数

凹凸性判别法是什么?

参考资料:

百度百科——凸函数

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