什么是开方,怎样开方
开方
作者:佚名 转贴自:本站原创
开方是求解方程式的重要方法。在世界数学史上,有关开平方、开立方的问题,印度的《阿耶波多文集》就有所记载,他们把被开方数分别看成正方形的面积和正方体的体积,这样一来,开方只是求它们的连长而已。
当开方不尽时,他们利用近似值来表示。他们给出√2的近似值为1.414215686,从中可以看出他们已经掌握了很好的近似公式。
但是印度的开方还不是世界上最早的。《阿耶波多文集》是由公元5世纪印度大数学家阿耶波多著的。而我国西汉末年的《周髀算经》中就有开方的记载。《九章算术·少广》中,就是专门讲开平方与开立方的法则。而这是公元前1世纪的事情,由此可见,开平方和开立方比印度要早600年左右。
当时,《孙子算经》中的开方方法和《张邱建算经》的开方方法,也是最先进的。南北朝祖冲之进一步推广了开平方、开立方的方法,能够求出一般的二次议程与三次议程式的正根。不过,这种方法不易推广到任意次方。在隋朝的数学著作中,已经出现了由长宽不等的长方形的面积求其长宽,由长宽高不等的立方体的体积求其长宽高的问题,当时把它们分别称作开差幂和开差立。
到了11世纪,北宋数学家贾宪,在前人的基础上,在《九章算法细算》一书中,发明了一种新型的开平方和开立方的方法,起名为“增乘开方法”。使用这种方法,水但很容易推广到开任意高次方,而且能得出高次方程的数值解法。其作法与现代数学教科书中所用的步骤相同,用所拟定的根数,边乘边加,变换原方程式的系数。后来,著名的数学家刘益《议古根原》、秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》等著作中,都彩增乘法求高次方程式的正根。
一提起“增乘开方法”,就不得不提起它的发明者贾宪。贾宪是我国北宋时期杰出的数学家,他是当时的数学大师楚衍的弟子。担任过左班殿值、吉隶太史等官职,精通运算。他的“增乘开方法”是我国古代数学史上的又一杰出创造。它与现代数学中的“霍纳法”的演算步骤完全相同。但是英国数学家霍纳到公元人819年才提出这样的算法,比贾宪迟了800年左右。
贾宪的“增乘开方法”要比〈九章算术·少广〉中的方法简便得多。自从贾宪提出增乘开方法后,经过200多年的不断改善,到13世纪上叶,由秦九韶最后完成,形成一完整的体系——秦九韶求实根法。
对于解高次方程
f(x)=a0x n+a1x (n-2)+…a(n-1)x+a n=0
秦九韶把自己的方法称为“正负开方术”。其方程的各系数可正可负,可以是整数也可以是小数;An一般是负数;当An1时,称为“开连枝某乘方”;开方过程减根后的方程的常数项一般愈来愈大,而接近于零,但有时常数项会由负变正,称为“换骨”;有时常数项符号不变,而绝对值增大,称为“投胎”。开方得到无理根时,秦九韶发挥了刘徵首创的计算“微数”的思想,用十进小数作无理根的近似值。
为了广泛应用数字高次方程的解法,秦九韶拟了许多趣味盎然的应用题。通过实际操作,让读者对开方有一个更形象的把握。
开方的定义:开方,指求一个数的方根的运算,为乘方的逆运算。
开方的理解:比如2的平方是4,3的平方是9,2的立方是8,3的立方是27。则逆运算,4开方是2(开二次方,取正数),9开方是3,8开立方是2,27开立方是3。
开方名称的来历:《周髀算经》卷上“勾股圆方图” 汉赵君卿 注:“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也。”译文:直角三角形的两边各自平方相加,对它开方即得第三边。
乘法的计算法则:
数位对齐,从右边起,依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数,乘到哪一位,得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。
两位数的十位相同的,而个位的两数则是相补的(相加等于10)。
(1)分别取两个数的一位,而后一个的要加上一以后,相乘。
(2)两个数的尾数相乘,(不满十,十位添作0),口决:头加1,头乘头,尾乘尾。
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