群环域的定义和区别

群环域的定义和区别具如下：

一、群环域的定义

1、群是一个特殊的集合，这个集合需要满足4条性质。?1，2，3，4 blablabla，?就叫1个群。?也叫群公理定义。

2、环有两个操作， 加法运算满足abelian 群。 乘法运算要满足半群。同时外加乘法对加法满足交换率，则称为一个环。如果乘法满足交换率，则称为可交换环。

3、域在交换环的基础上，还增加了每个元素都要有乘法逆元(0除外)。由此可见域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。

二、群环域的区别

1、群是含一个二元运算，由单位元和逆元，而交换群（加群）是还要满足交换律，半群是群的扩展，只满足结合律。

2、环是两个二元运算、对加法构成加群，对乘法构成半群，满足分配律

3、域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律。

4、半群是群的扩展，自然包括交换群，用一句形象的话来说（仅对上面的定义），群最小、域其次、环最大。

群环域的概念及公式

一、概念

群，域，环都是代数系统（非空集合+运算+规则）

二、公式

1、群的定义=[非空集合V]+[一个称之为“乘法”的二元运算（对V中任意a，b，ab=c属于V）]+[结合律、单位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]

2、交换群就是上面的群还满足交换律，也称作加群，ab=ba 此时单位元用0表示，称作零元。

3、半群就是上面的群只满足结合律即可，那么环=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群（加群），V对乘法构成半群，乘法对加法满足分配律]。

4、域=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群，V对乘法是非零元构成交换群，乘法对加法满足分配律]。

什么是数学里面的环

数域定义：设F是一个数环，如果对任意的a，b∈F而且a≠0，则b/a∈F；则称F是一个数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。显然没有整数域。

设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S，则称S是一个数环。例如整数集Z就是一个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。从数域的定义看，1是整数，2是整数，但是1/2不是整数。数域整数集合不满足数域的定义，不是数域。

奇偶数

整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n是整数时，偶数可表示为2n(n为整数)；奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。偶数包括正偶数（亦称双数）、负偶数和0。所有整数不是奇数，就是偶数。

在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。

环的定义

一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：

(R, +)形成一个可交换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：

(a + b) = (b + a)

(a + b) + c = a + (b + c)

0 + a = a + 0 = a

(R, ·)遵守：

1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）

(a·b)·c = a·(b·c)

乘法关于加法满足分配律：

a·(b + c) = (a·b) + (a·c)

(a + b)·c = (a·c) + (b·c)

注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

几类特殊的环

含单位元环：

在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。

交换环：

虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。

除环：

主条目：除环

如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。

无零因子环：

一般来说环R对乘法形成半群，但R\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\{0}对乘法就不是封闭的。如果R\{0}对乘法仍然形成半群，那么这个环就称为无零因子环。

这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零。

整环：

主条目：整环

整环是含单位元的无零因子的交换环。例如多项式环和整数环。

主理想环：

主条目：主理想环

每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。

唯一分解环：

主条目：唯一分解环

如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

商环：

主条目：商环

素环：

主条目：素环

例子：

整数环是一个典型的交换且含单位环。

有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。

所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。

n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想

主条目：理想

右理想： 令R是环， 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。

对于任意 和 有 。

左理想： 类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。

对于任意 和 有 。

如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。

例子：

整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

一般性质：

定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。

对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明下面的基本性质：

(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；

(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；

(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

如果A环R的一个非空子集，令=RA+AR+RAR+ZA，则是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

(1) 当是交换环时，=RA+ZA

(2) 当是有单位元1的环时，=RAR

(3) 当是有单位元交换环时，=RA

主理想：如果是个n元集合，则记，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性质：

几类特殊环中的主理想：

(1) 如果是交换环，则

(2) 如果是有单位元的环，则

(3) 如果是有单位元的交换环，则

真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。

极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集。

极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：

(1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。

(2)极大理想未必是极大左理想。

除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。

定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。

定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。

定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。

素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， 可推出 或 。

素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.

半素理想：设 I 是环R的理想，并且。如果对任意理想P，由，可得，则称 I 是环R的半素理想。

显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

鹏仔微信 15129739599 鹏仔QQ344225443 鹏仔前端 pjxi.com 共享博客 sharedbk.com