函数的奇偶性与周期性

因为f(x+2)=f(x+1)-f(x)

所以f(x+3)=f[(x+1)+2]

=f[(x+1)+1]-f(x+1)

=f(x+2)-f(x+1)

=f(x+1)-f(x)-f(x+1)

=-f(x)

即：f(t+3)=-f(t)

所以f(t+6)=f[(t+3)+3]=-f(t+3)=-[-f(t)]=f(t)

所以周期T=6

所以f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2016)

=336f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)

f(1)=a，f(2)=b

f(3)=b-a

f(4)=b-a-b=-a

f(5)=-a-(b-a)=-b

f(6)=-b-(-a)=-b+a

所以f(1)+……+f(6)=a+b+b-a-a-b-b+a=0

所以原式=336×0=0

如何理解函数的奇偶性与周期性？求详解，尽量用通俗易懂的语言…有例题最好！谢谢！

1、

1>

f(x)关于x=a对称（轴对称）

=>

f(a-x)=f(a+x)

=>

f(a-x)=f(2a-(a-x))

=>

f(x)=f(2a-x)

同理可得

f(x)=f(2b-x)

=>

f(2a-x)=f(2b-x)

=>

f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))

=>

f(x)=f(x+(2b-2a))

=>

周期T=绝对值（2b-2a）=2b-2a

2>

f(x)关于(b,0)对称（点对称）

=>

f(b+x)=-f(b-x)

=>

f(x)=-f(2b-x)

=>

f(2a-x)=-f(2b-(2a-x))=-f(x+(2b-2a))

又

f(x)=f(2a-x)

=>

f(x)=-f(x+(2b-2a))

=>

f(x+(2b-2a))=-f((x+2b-2a)+(2b-2a))

=>

-f(x+2b-2a)=f(x+4b-4a)

=>

f(x)=f(x+(4b-4a))

=>

周期T=4b-4a

3>

由2>易知

f(x)=-f(2a-x)

以及

f(x)=-f(2b-x)

=>

-f(2a-x)=-f(2b-x)

=>

f(2a-x)=f(2b-x)

=>

f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))

=>

f(x)=f(x+(2b-2a))

=>

周期T=绝对值（2b-2a）=2b-2a

2、周期函数不一定有最小正周期，为什么？

一般，对周期函数的最主要性质的概括就是

f(x)=f(x+T)......(T不等于0)

所谓不存在最小正周期

也就是

满足等式的T存在，但求不出最小值

其中一种情况就是T为无穷小（无限逼近于零）

这时的周期是无法用一个常数表达的

比如

f(x)=C(C为一个常数)

又比如狄利克莱函数，道理一样。

3、奇偶性

1>

1)考察定义域

（1-x）/(1+x)>0

=>

(-1,1)

=>

关于元点对称

2)判断奇偶性

f(x)=loga[(1-x)/(1+x)]=loga(1-x)-log(1+x)

=>

f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)]=loga(1+x)-log(1-x)

=>

f(x)=-f(-x)

=>

奇函数

2>

1)考察定义域

x+√(x2+1)>0

=>

定义域R关于元点对称

2)判断奇偶性

f(x)+f(-x)

=loga[x+√(x^2+1)]+ loga[-x+√((-x)^2+1)]

=loga{[x+√(x^2+1)]*[-x+√((-x)^2+1)]}

=loga(1)

=0

=>

f(x)=-f(-x)

=>

奇函数

如果对于函数定义域内的任意一个x，（1）都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。 （2）都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。

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