在学习初三数学二十四章“圆”的时候，在题目中添加辅助线有什么规律和技巧？

（1）有了弦，常引的辅助线是：过弦端点的半径；垂直于弦的直径（或弦心距）。

作用：构成直角三角形或利用垂径定理。

记忆口诀：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦要想弦心距，它定垂直平分弦；

例1：如图1，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm。求⊙O的半径。

[规范解法]作OC⊥BA于C，连结OA。则在Rt△AOC和Rt△POC中，有AO2-AC2=OP2-CP2即AO2-52=52-(5-4)2。∴ AO=7。即⊙O的半径为7cm。

例2：已知AB=CD,M、N分别为AB、CD的中点。

求证：∠AMN=∠CNM

[规范解法]过M、N分别作OM⊥AB、ON⊥CD垂足为M、N

∵AB= CD,∴OM=ON，∴∠OMN= ∠ONM。∵OM⊥AB、ON⊥CD∴∠OMA=∠ONC=90°∴∠AMN=∠CNM。

（2）有了直径，常引的辅助线是：作直径所对的圆周角。如图

作用：得到直角或直角三角形。

记忆口诀：遇直径作直角

例3：(2007年中考题) ①AD是圆O的直径， BC切圆O于D，AB、AC与圆O相交于点E、F。

求证：AE·AB=AF·AC。

思路启迪：AD是直径，构造直径所对的圆周角。

[规范解法]连接DE,DF

∵AD是圆O的直径，∴DE⊥AB，DF⊥AC。∵BC切圆O于点D，AD是圆O的直径，∴AD⊥BC。∴根据射影定理有AD2=AE·AB，AD2=AF·AC。

∴AE·AB=AF·AC。

例4：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上。AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证：CO2⊥AD。　

思路启迪：AD是直径，构造直径所对的圆周角。

[规范解法]连接AB ∵AD是⊙O2 的直径 ∴∠ABD是直角

∴∠ABC是直角 又∠ABC与∠A02C是同弧上的圆周角　

∴∠AO2C是直角 ∴CO2⊥AD

（3）有了圆的切线，常引的辅助线是：连接过切点的半径；引过切点的弦。

作用：利用切线垂直于过切点的半径，得直角或直角三角形或弦切角。

记忆口诀：要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，连半径证垂直，直线与圆未给点，作垂线证半径。

例5：在Rt ΔABC中，∠B =90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。求证：AC是 ⊙D的切线。

思路启迪：圆上没点，作垂直证半径可得切线。

[规范解法]过D点作DF⊥AC于F，∵∠B=90° ∴DB⊥AB。 又∵AD是∠BAC的角平分线 DF⊥AC∴DB=DF。 ∵DB是⊙D的半径，∴DF也是 ⊙D的半径。 因此AC是⊙D的切线。

（4）两圆相交时，常引的辅助线是：公共弦；连心线。

作用：①利用连心线垂直平分公共弦；②使之出现弧上的圆周角或构成圆内接四边形，而沟通两圆的关系。

例6：如图，两圆交于B、C，AC切小圆于C，ABE交小圆于E，连CE交大圆于D。求证：AC＝AD。

思路启迪：由于AC、AD已构成三角形，故只需证明∠ACD＝∠ADC即可。但因这两个角同是大圆的圆周角。因此，要寻求它们与小圆的关系。观察图形可以发现∠CDA＝∠E＋∠DAE。这样问题便转化为关于两个圆的角的问题，所以需要作出公共弦，借助圆周角定理与弦切角定理来求得问题的解决。

例7：已知⊙O1与⊙O2交于A、B，过A的直线分别交两圆于C、D，连结BO1,BC,BO2,BD。 求证：∠CBD=∠O1BO2

思路启迪：在两圆相交的图形中，公共弦是一条重要的辅助线。因公共弦使两圆的角在量上发生联系。也就是说，连公共弦后出现外角等于内对角或中间角。另外，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，可以丰富已知条件。

（5）有两圆的公切线时，常引的辅助线是：以圆心距为斜边，公切线长与两圆半径和（或差）为直角边长的直角三角形。如图。

作用：利用勾股定理或三角函数进行有关量的计算。

（6）两圆（或多圆）相切时，常引的辅助线是：过切点引两圆的公切线；作两圆的连心线。如图 (1)、(2)、(3)。

作用：把圆周角、弦切角联系起来，又连通了两圆的关系。

例8：如图，⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，（I）求证：AB⊥AC；（II）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求■的值。

辅助线提示：记忆口诀：如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

一，定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属于四边形。

3、平行四边形属于中心对称图形。

二，性质：

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

三，判定：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

1，平行四边形的相关计算：

（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=a*h。

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sinα。

2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。

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