三角分解的存在性和唯一性

1.存在性

在矩阵A的LU分解过程中没有提出任何限制条件，从导出的分解公式来看，只要uii≠0（i＝1，2，…，n），公式就有意义，就是说，只要uii≠0（i＝1，2，…，n），矩阵A的LU分解必定存在。然而用uii≠0判断是不切实际的，因为在分解前uii尚属未知。下面用矩阵A本身的信息———各阶顺序主子式Δi（i＝1，2，…，n）———来判断LU分解的存在性，使得

地球物理数据处理基础

并约定Δ0＝1。

证明：设uii≠0，则A＝LU存在，由行列式性质

Δn＝det A＝det L·detU＝1·（u11u22…unn）

并观察式（4－7）可知A的最后一行与最后一列元素分别仅影响U的右下角元素unn和最后一列元素，故有

Δn－1＝det An－1＝u11u12…un－1，n－1

综上两式得 由n的任意性可知

2.唯一性

★定理一：若n阶方阵A的各阶顺序主子式Δk≠0（k＝1，2，…，n），则A存在唯一的分解式

A＝LU

其中：L为n阶单位下三角阵；U为n阶上三角阵。

证明：根据上面分析，A＝LU的存在性已经得到证明，下面再证明A的三角分解的唯一性。设A有两种三角分解，

A＝L1U1＝LU

其中：L1，L为单位下三角阵；U1，U为上三角阵。

假设A非奇异，则L1，L，U1，U均为非奇异阵，故L－1，U－11存在，对等式L1U1＝LU两端均左乘L－1，右乘U－11，得

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由线性代数定理可知，（单位）上（下）三角阵的逆矩阵仍为（单位）上（下）三角矩阵。故式（4－9）的左边为单位下三角阵，而右边为上三角阵，故两端都为单位阵，则L1＝L，U1＝U。故唯一性也成立。

◆推论：若n阶方阵A的各阶顺序主子式Δk≠0（k＝1，2，3，…，n），则A存在唯一的分解式A＝LDR，其中L，R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶非奇异对角阵。

事实上，由A＝LU，再将U分解为DR即可。

由推论知，若对矩阵A的唯一分解式LDR的形式进行不同的组合，就可得到矩阵A的不同分解形式。一般有下面三种常用的分解方法：

（1）把D并入R：A＝L（DR）＝LU。

式中：L是单位下三角阵；U是上三角阵。这种分解即为上面介绍的矩阵A的LU直接三角分解，也称为矩阵A的杜利脱尔（Doolittle）分解。

（2）把D并入

式中： 是下三角阵； 是单位上三角阵。这种分解称为矩阵A的克洛脱（Crout）分解。

（3）若A为n阶对称正定阵，则由对称正定阵的性质可证明必有 分解。

其中： 是对角元均为正的下三角阵。这种分解称为正定矩阵A的乔累斯基（Chol－esky）分解。

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