方程与函数的区别是什么？什么是代数？这些抽象的东西真的可以用来作为分析科学的工具吗？

先回答你第一个问题：方程是含有未知数的等式，包含有一元一次方程、分式方程、二元一次方程、一元二次方程等；函数是两个变量满足一定的对应关系。两者分属不同的知识点，但一些特定的函数和方程在研究某一特定问题时，又可以相互联系。例如研究一次函数和二元一次方程，其函数的两个一一对应的变量和方程的解都可以在平面直角坐标系中用点来描述，那么都可以用坐标来表示，因此它们又有相通的地方。

第二个问题，方程和函数都为研究提供了很重要的方法。其实函数的表达方式有好几种，其中图象法就很直观的反应出变化规律。

至于后两个问题，我觉得你不用思考了，先把前两个弄清楚吧。有一种解决问题的方法叫水到渠成……

变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

补充

在数学领域中, 超越函数与代数函数相反, 是指那些不满足任何以多项式方程的函数, 即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程.换句话说, 超越函数就是"超出"代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算. 严格的说, 关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数, 如果该函数是关于变量z是代数独立的. 对数和指数函数即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数, 例如正弦,余弦,正割,余割,正切,余切,正失,半正失等. 非超越函数则称为代数函数. 代数函数的例子有多项式和平方根函数. 对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数. 如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中, 对倒数函数y = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的双曲函数sinh, cosh, tanh 都是超越函数. 微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数, 例如将三角函数与多项式的合成取不定积分.

编辑本段量纲分析

在量纲分析里，超越函数是很非常有用的，因为它们只在其引数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。例如，log(10 m) 是个毫无意义的表示式. log(10 m)不同于 log(5 m / 3 m) 和 log(3) m, 后两者是有实际意义的. log(10 利用对数恒等式, 将m)展开为log(10) + log(m)能够更清晰的说明该问题: 一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果.