无限深势阱中的粒子除了限制在势阱中运动之外，和自由粒子有什么区别？

1. 波函数及其统计意义

得到描写自由粒子的平面波波函数:

利用关系

用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的物质波,该函数表达式称为物质波的波函数.

机械波

或

物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明

物质波的 强度大

光强度大

光波振幅平方大

(波动观点)

光子在该处出现 的概率大

(微粒观点)

波函数振幅的平方大

单个粒子在该处出现的概率大

(波动观点)

(微粒观点)

在某一时刻,在空间某处,微观粒子出现的概率正比于该时刻,该地点波函数的平方.

在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征)出现粒子的概率为:

称为概率密度,表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率.

及单值,连续,有限等标准化条件.

归一化条件

波函数还须满足:

2. 定态薛定谔方程

薛定谔建立的适用于低速情况的,描述微观粒子在外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程.

质量为m 的粒子在势能为 的外力场中运动,含时薛定谔方程为:

拉普拉斯算符

薛 定 谔

用分离变量法:

代入薛定谔方程,采用分离变量,得到:

讨论势能函数与时间无关的情形,即

此时粒子的能量是一个与时间无关的常量,这种状态 称为定态,对应的波函数称为定态波函数.

令等式两端等于同一常数

定态薛定谔方程

§18-8 势阱中的粒子 势垒 谐振子

1.一维无限深势阱

若质量为m的粒子,在保守力场的作用下,被限制在一定的范围内运动,其势函数称为势阱.

为了简化计算,提出理想模型——无限深势阱.

一维无限深势阱:

∞

∞

a

保守力与势能之间的关系:

在势阱边界处,粒子要受到无限大,指向阱内的力,表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0.

势阱内的一维定态薛定谔方程为:

解为:

由边界条件得:

据归一化条件,得

得波函数表达式:

(1)粒子能量不能取连续值

得

能量取分立值(能级),能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质.

由

讨论:

(2)粒子的最小能量不等于零

最小能量

也称为基态能或零点能.

零点能的存在与不确定度关系协调一致.

(3)粒子在势阱内出现概率密度分布

不受外力的粒子在0到a 范围内出现概率处处相等.

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