您好，我有一个问题想请教：“当点E运动到什么位置时四边形是菱形？并加以证明。”

腰梯形ABCD中,AD平行BC,点E是线段AD上的一个动点，（E与A,D不重合）G,F,H分别是BE，BC,CE的中点

1.试探求四边形EGFH的形状，并说明理由

2.点E运动到何处时，EGFH是菱形？说明理由

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如何是这道题，那么就是用菱形做条件，来证明E点的位置，其实问题可以问成当EGFH是菱形是，E点在什么位置？这样条件和结论就清楚了。

1 BF/BC=BG/BE FG‖EC 同理 FG‖BE

两对边平行 四边形EGFH是平行四边形

2 当EGFH是菱形时 EG=EH 则BE=EC

∠EBC=∠ECB 又∠ABC=∠DCB

所以∠ABE=∠DCE AB=DC BE=EC

△ABE≌△DCE AE=DE E是AD终点

菱形ABCD中,∠ABC=120度,菱形的边长为6,点E、F分别是这AD，CD上的两个动点

1.

OC = OA = 4, OB = OC = 3

AD = BC = AB = 5

点Q在线段BA上时, BC/2 = 5/2 ≤ t ≤ (5+5)/2 = 5

t秒时, AP = t

P的横坐标 = -(AO - APcos∠OAD) = -(4 - t*OA/AD) = -(4 - 4t/5) = 4t/5 - 4

P的纵坐标 = -APsin∠OAD = -3t/5

P(4t/5 - 4, -3t/5)

t秒时, AQ = 10 - 2t

Q的纵坐标 = AQsin∠BAO = 6(5-t)/5 = 6 - 6t/5

Q的横坐标 = -(AO - AQcos∠BAO) = 4 - 8t/5

Q(4 - 8t/5, 6(5-t)/5)

设PQ与x轴交于R(r, 0)

PQ的方程: (y + 3t/5)/(6 - 6t/5 + 3t/5) = (x - 4t/5 + 4)/(4 - 8t/5 - 4t/5 + 4)

令y = 0, r = (-16t? + 100t - 200)/(50 - 5t)

AR = 4 + r = 16t(5 - t)/(50 - 5t)

三角形APQ的面积S

= 三角形APR的面积 + 三角形AQR的面积

= (1/2)AR*|P的纵坐标| + (1/2)AR*|Q的纵坐标|

= (1/2)AR*(3t/5 + 6 - 6t/5)

= (1/2)[16t(5 - t)/(50 - 5t)](6 - 3t/5)

= 24t(5 - t)/25

t = 5-t即t = 5/2时, S最大, = 6

2.

用1中的结果, t = 4, P(-4/5, -12/5)

BC的方程: x/4 + y/3 = 1, 3x + 4y - 12 = 0

P与BC的距离d = |-12/5 - 48/5 - 12|/5 = 24/5 > AP = 4, Q在AB上

以P为圆心, 半径为4的圆的方程: (x + 4/5)? + (y + 12/5)? = 16

与AB的方程(-x/4 + y/3 = 1, 3x - 4y + 12 = 0)联立, 得25x?/16 + 97x/10 + 69/5 = 0

(x + 4)(25x/16 + 69/20) = 0

x = -4 (点P)

x = -276/125

Q( -276/125, 168/125)

AQ? = (-4 + 276/125)? + (168/125 - 0)? = (280/125)?

AQ = 280/125 = 10 - 4k

k = 97/50

天哪，真辛苦。

是的！

做辅助线EF,BD证明三角形BED全等于BFC，则BE=BF,加上∠BEF=60°，所以△BEF一定为等边三角形，边长无论多少，这个结论都成立。前提，A,D C,F不重合。

证明过程如下：设角ABE=x,则角BFC=60+x,同样角BED=60+x;角BDA=角C=60度；边BC=BD;以上三个条件证明三角形BED全等于BFC。

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