初中、高中的所有函数种类！以及对应的函数模型！

对一个高考知识点或一类题型的分析

针对数列中一道典型的题将以下如何分析和解决问题。

题目：an=3an-1+4, a1=1,求解an。

这道题的求解方法有很多，递推和列项相消过于复杂，这里就不谈了。

解法一：递推；

解法二：列项相消；

解法三：差比方程构造法：

已知：an=3an-1+4；

设存在一常数x使得：

an+x=3(an-1+x）；

解得：x=2；

设bn=an+2,则有bn=3bn-1，解得bn=3n；

从而解得An=3n-2.

解法四：探索法：

已知：an=3an-1+4；1

an-1=3an-2+4；2

1-2得：an- an-1=3an-1-3an-2=3（an-1-an-2）;

设bn= an- an-1 ，则有

bn=3 bn-1

解得bn=2*3n-1

an=3an-1+4；

an- an-1=2*3n；

消去an-1得An=3n-2.

解法三、四都是观察到an=3an-1+4很像等比数列，于是采用构造等比数列解得。

变形一：an=3an-1+4n同样可以采用上述解法，但注意应有解法三时注意设的x不再是一常数，准确的应该是xn。得到an+xn=3(an-1+xn-1）。

变形二：an=3an-1+4*3n，可将方程两边同时除以3n得an/3n =(an-1/3n-1)+4

设bn= an/3n；则有bn=3bn-1+4又化为原题的形式可进一步求解

系数、定义域区别。

1、系数区别：在幂函数中，指数部分只能为1，即形式为f(x)=ax^1。在幂函数模型中，系数可以是任意实数，可以调整以适应数据拟合或解决特定问题。

2、定义域区别：对于幂函数来说，底数必须是实数且不能等于0或者1。在使用幂数模型时，定义域会放宽并根据具体问题进行调整。是为了解决现实生活中的问题、处理序列等情况。

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