初中、高中的所有函数种类!以及对应的函数模型!
对一个高考知识点或一类题型的分析
针对数列中一道典型的题将以下如何分析和解决问题。
题目:an=3an-1+4, a1=1,求解an。
这道题的求解方法有很多,递推和列项相消过于复杂,这里就不谈了。
解法一:递推;
解法二:列项相消;
解法三:差比方程构造法:
已知:an=3an-1+4;
设存在一常数x使得:
an+x=3(an-1+x);
解得:x=2;
设bn=an+2,则有bn=3bn-1,解得bn=3n;
从而解得An=3n-2.
解法四:探索法:
已知:an=3an-1+4;1
an-1=3an-2+4;2
1-2得:an- an-1=3an-1-3an-2=3(an-1-an-2);
设bn= an- an-1 ,则有
bn=3 bn-1
解得bn=2*3n-1
an=3an-1+4;
an- an-1=2*3n;
消去an-1得An=3n-2.
解法三、四都是观察到an=3an-1+4很像等比数列,于是采用构造等比数列解得。
变形一:an=3an-1+4n同样可以采用上述解法,但注意应有解法三时注意设的x不再是一常数,准确的应该是xn。得到an+xn=3(an-1+xn-1)。
变形二:an=3an-1+4*3n,可将方程两边同时除以3n得an/3n =(an-1/3n-1)+4
设bn= an/3n;则有bn=3bn-1+4又化为原题的形式可进一步求解
系数、定义域区别。
1、系数区别:在幂函数中,指数部分只能为1,即形式为f(x)=ax^1。在幂函数模型中,系数可以是任意实数,可以调整以适应数据拟合或解决特定问题。
2、定义域区别:对于幂函数来说,底数必须是实数且不能等于0或者1。在使用幂数模型时,定义域会放宽并根据具体问题进行调整。是为了解决现实生活中的问题、处理序列等情况。
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