凸函数是上凸还是下凸?
凹凸的规定目前世界学术界尚未统一。所以,不同的书,对于凹凸性的定义是可能不同的。
Convex Function在国内的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。在国内涉及经济学的很多书中,凹凸性的提法和国外的提法是一致的,也就是和单纯的数学教材是反的。很头大的问题。
凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
举例子:
函数f(x) = x²;处处有,因此f是一个(严格的)凸函数。
绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数,虽然它在点x = 0没有导数。
当1 ≤ p时,函数f(x) = | x | p是凸函数。
定义域为[0,1]的函数f,定义为f(0)=f(1)=1,当0函数x3的二阶导数为6x,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数,在x ≤ 0的集合上是凹函数。
每一个在内取值的线性变换都是凸函数,但不是严格凸函数,因为如果f是线性函数,那么f(a + b) = f(a) + f(b)。如果我们把“凸”换为“凹”,那么该命题也成立。
每一个在内取值的仿射变换,也就是说,每一个形如f(x) = aTx + b的函数,既是凸函数又是凹函数。
每一个范数都是凸函数,这是由于三角不等式。
如果f是凸函数,那么当t > 0时,g(x,t) = tf(x / t)是凸函数。
上凸区间和凸区间的区别是曲线的变化趋势、极值点的性质。
1、曲线的变化趋势:上凸区间的曲线呈现出向上凸起的形状,而凸区间的曲线则呈现出向内凹起的形状。以y=x^2为例,函数在x=0处有最小值,这个区间就是凸区间。而在x>0的区间,函数是上凸的。
2、极值点的性质:在上凸区间,函数存在局部极大值点,而在凸区间,函数不会存在局部极值点。
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