为什么矩阵的秩等于行秩也等于列秩

因为每个矩阵都可以通过初等变换，得到唯一的标准型与之对应，而标准型中的非零行数就是秩。不管通过初等行变换来求行秩，还是初等列变换求列秩，最终都可以化成这个唯一的标准型，且行秩（或列秩），就等于秩。

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

列秩应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则通解有k个自由参量，这里的k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

百度百科——矩阵的秩

百度百科——列秩

是的。矩阵的行秩和列秩都反映了矩阵的线性相关性，行秩表示矩阵的行向量组的最大线性无关组中向量的个数，列秩表示矩阵的列向量组的最大线性无关组中向量的个数，两个向量组是等价的，那么之间的线性组合关系是相同的，秩也是相同的，因此对于任何一个矩阵，其行秩和列秩都是相等的。

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