为什么矩阵的秩等于行秩也等于列秩
因为每个矩阵都可以通过初等变换,得到唯一的标准型与之对应,而标准型中的非零行数就是秩。不管通过初等行变换来求行秩,还是初等列变换求列秩,最终都可以化成这个唯一的标准型,且行秩(或列秩),就等于秩。
矩阵的行秩与列秩相等,是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是,矩阵可以看作线性映射的变换矩阵,列秩为像空间的维度,行秩为非零原像空间的维度,因此列秩与行秩相等,即像空间的维度与非零原像空间的维度相等(这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间:原像空间)。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。
扩展资料列秩应用
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组只要有一个解。在这种情况下,它有精确的一个解,如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,则通解有k个自由参量,这里的k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。
在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。
百度百科——矩阵的秩
百度百科——列秩
是的。矩阵的行秩和列秩都反映了矩阵的线性相关性,行秩表示矩阵的行向量组的最大线性无关组中向量的个数,列秩表示矩阵的列向量组的最大线性无关组中向量的个数,两个向量组是等价的,那么之间的线性组合关系是相同的,秩也是相同的,因此对于任何一个矩阵,其行秩和列秩都是相等的。
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