高中数学里映射的概念究竟是什么意思？

映射概念：在数学里，映射则是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词；亦指“形成对应关系”这一个动作，动词。

“映射”或者“投影”，需要预先定义投影法则部分的函数后进行运算。因此“映射”计算可以实现跨维度对应。相应的微积分属于纯数字计算无法实现跨维度对应，运用微分模拟可以实现本维度内的复杂模拟。 映射可以对非相关的多个集合进行对应的近似运算，而微积分只能在一个连续相关的大集合内进行精确运算。

相同点:

(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;

(2)函数与映射的对应都具有方向性;

(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性;即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应.(多值函数除外,这类函数一般不纳入函数的范畴)

区别：

1、函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

2、函数要求每个值域都有相应的定义域与其对应，也就是说，值域这个集合不能有剩余元素，而映射可以有剩余。

但是不可以把物理学看作是数学在现实世界的映射。

这里需要先理清楚物理学和数学分别是什么。物理学是研究自然界中事物运动变化规律的学科，而数学则是研究如何用最简练的方法表达逻辑推论的学科。这里最大的差别就是，物理学研究的是实在的事物，而数学研究的是抽象化的逻辑概念。所以就会产生下面一个逻辑关系：

一切实在的事物都可以抽象出对应的逻辑概念

特定的逻辑概念不一定能有实在的事物与其对应

根据上面的逻辑，就可以得出下面的一个推论：

一切物理学的结论都可以用数学的方式进行表达

数学表达不一定能有具体的物理学结论与其对应

根据上述结论，可以看出物理学与数学并不满足映射关系的定义。

另外从功能上来说，数学并不是科学，而是一门语言或一种工具。这样从语言的角度上来看，也同样有下面的关系：

一切实在的事物都能找到可对其进行描述的语言

特定的词汇不一定能有实在的事物与其对应

因此从这个角度看，数学与物理学，或者说数学与现实世界，并不满足映射关系的定义。

设两个集合A和B，和它们元素之间的对应关系R，如果对于A中的每一个元素，通过R在B中都存在唯一一个元素与之对应，则该对应关系R就称为从A到B的一个映射(Mapping)。其中A称为原象，B称为象。

映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明,函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。

一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个。

(由定义可知,图1中所示对应关系不是映射,而其它三图中所示对应关系就是映射。)

或者说,设A B是两个非空的集合,如果按,某一个确定的对应关系f.使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:B A为从集合A到集合B的一个映射

映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：

1、定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象；

2、对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应；

映射的分类：

映射的不同分类是根据映射的结果进行的，从下面的三个角度进行：

1、根据结果的几何性质分类：满射（到上）与非满射（内的）；

2、根据结果的分析性质分类：单射（一一的）与非单的；

3、同时考虑几何与分析性质：满的单射（一一对应）。

注：右图中（1）不是A到B的映射，（2）（3）（4）都是A到B的映射。

映射的的个数与A,B的元素的个数关系

[编辑本段]

集合AB的元素个数为m,n,

那么,从集合A到集合B的映射的个数为n的m次

■函数和映射，满映射和单映射的区别

函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。

即满映射f: A -> B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。

“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。

“映射”是比函数另广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。我们称a是原像，b是像。写作f: A -> B，元素关系就是b = f(a).

一个映射f: A -> B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原像。

在函数的定义中要求是满射，就是说B必须恰好是值域，不应比值域大。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。）

象集中每个元素都有原象的映射称为满射

原象集中不同元素的象不同的映射称为单射

单射和满射可共同决定为一一映射。

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