函数的什么点叫间断点？有几类间断点？

一、第一类间断点：左右极限存在。

当左右极限相等，则称为可去间断点；左右极限不等，则称为跳跃间断点。

设Xo是函数f(x)的间断点，那么如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。

又如果：

1、f(x-)=f(x+)≠f(x),或f(x)无意义，则称Xo为f(x)的可去间断点。

2、f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点。

二、第二类间断点：左右极限至少有一个不存在。

如果有一个极限趋于无穷大，则称为无穷间断点；否则称为振荡间断点。

第二类间断点是指函数的左右极限至少有一个不存在。第二类间断点有非常多种，如无穷间断点，振荡间断点，单侧间断点，狄利克雷函数间断点等等。

第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在。

1、若函数在x=Xo处的左右极限至少有一个无穷不存在,则称x=Xo为f(x)的无穷间断点。例y=tanx，x=π/2。

2、若函数在x=Xo处的左右极限至少有一个振荡不存在，则称x=Xo为f(x)的振荡间断点。例y=sin(1/x),x=0。

扩展资料

函数间断点的判定：

1、求函数的定义域，找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点xk；

2、对xk求函数的左右极限，由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势，确定间断点类型。

3、间断点存在的位置为分段函数的分界点，或者函数定义区间的分割点。没有定义的点构成区间则不为函数的间断点，为函数没有定义的区间。

百度百科-第一类间断点

百度百科-第二类间断点

跳跃间断点和可去间断点有什么区别？

A)一点的两边（从数轴上看就是差为大于0的方向和小于0的方向）距离无限小的范围内存在另外的点；

B）按函数关系（或方程定义）不存在，通过特别定义 可使该点连续的点；

如：y=(x^2-1)/(x-1) 中 点（1 ，2）即为可去间断点。

C）函数以阶跃方式给出，阶跃的边界处的点；

如：y=1 x∈（-∞，0]

-1 x∈（0，+∞） 中，x=0处的间断点即为阶跃间断点。

D）间断点在无穷远处。如： y=1/x

可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点。具体区别如下：

1、从定义理解：可去间断点存在左右极限且相等，跳跃间断点存在左右极限但不相等。

2、从图像理解：可去间断点左右极限应趋向于一处，跳跃间断点图像趋向于两处。

在第一类间断点中，有两种情况，左右极限存在是前提。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。

几种常见类型：

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

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