用通俗的话讲解，什么叫导数与微分？两者的区别是什么？

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：

可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；

可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性

dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx

这就是可导、可微之间的关系：

可导 = 可微 = Differentiable。

导数 = 微分 = Differentiation，Derivative

不可导 = 不可微 = Undifferentiable

说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性

2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念，

有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。

说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性

多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。

3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，

a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。

b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。

c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯

这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(f/x)dx + (f/y)dy时，

du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。

而f、x、y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，du=(f/x)dx

y的单独变化会引起u的变化，du=(f/y)dy

其中的 f/x、f/y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。

f/x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；

f/y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：

du=(f/x)dx + (f/y)dy

这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：

对一元函数，可导与可微没有本质区别；

对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

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