音乐与数学之间的关系是怎样体现的？二者又是如何相互影响的

古希腊时期关于音乐和比例之间的关系，题主自己也在问题描述中说到了，我就不说了。其实早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理论家，都是被当做科学家来看待的。早期的音乐大概有两个大的分类，"music as theory"和"music as practice“，前者从纯粹的理论方面来研究音乐，后者是从表演方法的角度来研究。前者的研究，很多都是和数学重合的。

另外，从很多音乐创作技法和观念上来说，也是和数学有紧密联系的。比如早期音乐中时值最开始是以三等分来划分，后来才发展出两等分；以及各个模仿声部之间的比例的确定（早起音乐是没有我们今天乐谱上的小节线的，所以，音与音之间的时值比例在那时是一个更本质的音乐理论和创作元素）；早期对八度、五度的运用，到逐渐加入三度和六度的过程，以及一直避免三全音的观念；音乐高潮放在黄金分割点上的技法；另外，一个实际的音乐作品的例子是Dufay的Nuper rosarum flores. 这部献给佛罗伦萨大教堂的委约作品，其音乐结构中包含了各种影射教堂建筑结构的数学比例，比如：talea的6：4：2：3的比例就是教堂圆顶的nave, transept, apse和高度（实在不知道怎么翻译-_-）的比例等等。

巴洛克时期发展成熟的各种复调手法，从某种程度上来说也就是数字的游戏。比如对主题的倒影，逆行和倒影逆行。

整个巴洛克时期、古典时期和浪漫主义时期通用的功能和声，也是和数学模式紧密相关的。比如V-I(i)就能确立一个新调，或者传统的转调都是在近关系调之间转，或者模进中的“首调模进”和“变调模进”的区别在哪（音阶不变或者音程不变），本质上都是长久以来从一个数学的逻辑推导出来的。

20世纪初，勋伯格打破传统调性体系后，不论是自由无调性还是序列音乐，还是再往后一点的octatonic音乐，都是建立在”音集“(set或者collection）理论上的。这个”音集“，就是把一个音高组合的材料数字化，然后再去用各种方式进行变形和”变奏“来发展。另外，不论是十二音的完整matrix，还是octatonic的音阶的移位，还是梅西安自己的有限移位调式，只要涉及到调式或者音阶的移位(transposition), 那都是和数学紧密相关的。另外一些音乐创作手法比如新复杂主义，根本性的构思就在于更加多变的音符时值比例，乐谱都是这样的：

再到后来，当电子音乐发展起来以后，很多电子音乐”创作“的软件或程序，其本身就是一种编程行为而不是传统的"音乐创作”思维了，比如Max.

总结一下来说，只要是以音程和音阶及其移位作为基本的音乐理论基础和创作素材的音乐作品，都是和数学思维紧密相关的。

音乐进行中，脱离原来的调性而进入另一调性称转调。转调是通过合理的和声进行来完成的。所进入的新调称副调。副调必须得到巩固（属、主音均出现，并作完全收束），转调方才完成。否则称为离调。转调可以改变调号或不改变调号；可以改变调试或不改变调式。转调的方法与类型有许多种，如同音列转调、同主音转调、近关系转调、远关系转调、自然和弦转调、等音和弦转调、逐渐转调、突然转调、换调等。转调是音乐发展的重要手法，能提高音乐的表现力。

调性音乐中，从某一调到另一调的交换称为转调。这种变换包括：①调中心音高的改变,②调式的改变,③调中心音高和调式同时改变。其中同音列各调式的互相转换及同主音各调式的互相转换又称调式交替。转调可以丰富乐曲的表现力，使乐曲在力度上和色彩上增加变化，并在发展乐思、构成曲式方面起重要的作用。

调关系 在大小调体系中，一般根据两调主和弦在自然音体系范围内或是在变音体系范围内及调式音列的同异程度而分为近关系调和远关系调。近关系调是指新调的主和弦包含在原调的自然音阶大、小三和弦之内的五个调，即原调的平行调、属调及其平行调、下属调及其平行调，如 C大调的近关系调为a、G、e、F、d；c小调的近关系调为bE、g、bB、f、bA。除近关系调外，其余各调的主和弦均为原调含有变音的大小三和弦，属于远关系调。另外，有的理论家根据和声大小调式而将大调的下属小调及小调的属大调划为近关系调，也有的将同主音调也作为近关系调。在近关系调及远关系调中,尚有再细加划分其远近关系。

转调种类 根据不同的角度，转调可分为许多种如：①从调关系来说，分近关系转调及远关系转调，后者又称疏远转调。②从新调的肯定程度来说，转调系指新调得到明确的肯定者，即新调具有完满的收束并与乐曲的段落相一致，或转调后新的主题得到明确呈示者。如新调甚为短暂而不肯定，则称离调或暂转调。③从转调手法来说，凡直接转向新调者称直接转调；通过若干中间调而最后到达目的调者，称间接转调；大调直接转入下属小调或小调直接转入属大调称阔步转调；不通过共同媒介而直接进入新调者称换调。

转调过程 除换调外，任何转调都需依靠共同因素作过渡。共同因素包括和弦、单音以及片断的旋律或和声进行。以和弦为共同因素时，可有下列 3种转调方法：①自然和弦转调：以两调所共有的自然和弦为媒介，将该和弦按新调的音级作功能转换，进入明确属于新调的和弦引向新调,并用收束式加以肯定。②变和弦转调:用作转调媒介的共同和弦为某一调的自然和弦，而在另一调为变和弦，或两调均为变和弦。③等和弦转调：将共同和弦中某一音或数音作等音变换，使之成为新调的和弦，并按新调的倾向继续进行。

以单音作媒介的转调，称共同音转调，常用前、后调主和弦的和弦音作为媒介。 以片断的旋律作媒介的转调，称旋律转调。用片断的和声进行作媒介的转调，主要用于转调模进，亦称经过转调。

调性布局 在有转调的作品中，各个调性出现的先后次序称调性布局。18、19世纪的西洋音乐中，调性布局的一般规律是以乐曲的主调为核心，通过其他副调的变化与对比,最后复归主调。就调性的功能关系来说,大都表现为主—属（或下属）—主或主—属—下属—主的规律性；就调性的音程关系来说，各个不同时期又有自己的特点，如古典派以四、五度关系为主，浪漫派则更多的使用三度关系等。

中国民族音乐中的转调 在中国古代文献中，早已有转调的理论及乐曲中调变换的记载。北宋陈□《乐书》“犯调篇”及“玉兔浑脱篇”均有“唐自天后末年，《剑气》入《浑脱》，始为犯声”的记载，“犯调篇”并有正犯、旁犯、偏犯、侧犯之别。元熊朋来《瑟谱·诗新谱》中为《诗经·七月》所谱的曲调等，有频繁的调变换。在民间音乐中，不论是民歌、器乐曲、曲艺及戏曲音乐中，也都有各种不同形式的转调、离调、换调、调式交替等。

由于中国民间音乐主要为单声音乐，所以转调也总是通过旋律的进行显示出来。以五声为骨干的旋律所产生的各种转调和调式交替，概括起来可分为两大类：①同宫系统的调式交替,即在保留原五声音列的基础上,作调式和主音的改变，广泛存在于中国民歌中，如河北民歌《十朵鲜花》（徵与宫交替）、江苏民歌《紫竹调》(宫与羽交替)等。②异宫系统的转调，又以转向上、下五度宫调系统（即近关系转调）为最常见，因仍在七声自然音列之内,色彩柔和。这类转调又可分为3种：调式改变而主音不变，即同主音各调式的犯调，如江苏民歌《手攀杨柳望情哥》（G徵转G宫)；调式不变,主音改变，如福建民歌《采茶灯》（b羽转e羽）；调式与音高均改变，如四川民歌《青岗路》（a羽转F宫）。其中旋律上以变宫取代宫音或以清角取代角音而转上、下五度宫调系统，简便而富有特色。

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