矩阵的等价相似和合同三者有何区别

1、它们的概念不同

等价概念：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A≌B。

合同概念概念：两个n阶方阵A_B,若存在可逆矩阵P,使得A≌Bp"?AP=B成立，则称A,B合同，记作A≌B该过程成为合同变换。

相似概念： n阶方阵AB，若存在一个可逆矩阵P使得B=P="I4P成立，则称矩阵AB相似，记为A~B。

2、它们的条件不同

矩阵等价：同型矩阵而言，般与初等变换有关，秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的。

矩阵相似：针对方阵而言。秩相等是必要条件，本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵，秩相等是必需条件，本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同。

3、它们的充分必要条件不同

矩阵等价的充要条件：AB同型，且人r(A)=r(B)A≌B={存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立}

矩阵合同的充要条件：矩阵A.B均为实对称矩阵，则A≌B≈二次型xAx与x"Bx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵AB有相同的不变因子或行列式因子。充要条件： A~?B口(2E-A)≌(AE-?B)。

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