什么是范数

什么是范数介绍如下：

范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数。所以范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。

范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。

特点：

L0范数与L1范数都可以实现稀疏，而L1范数比L0具有更好的优化求解特性而被广泛使用。 L0范数本身是特征选择的最直接的方案，但因为之前说到的理由，其不可分，且很难优化，因此实际应用中我们使用L1来得到L0的最优凸近似。

总结一下上两段的结论就是：L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因为拥有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。

从学习理论的角度来说，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。

1、定义不同

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间。

向量 AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。而模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。模推广到高维空间中称为范数。

2、应用范围不同

范数应用在数学中的代数和函数中，而向量的模主要应用在高中数学必修四平面向量中。

3、运算方法不同

向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。

而范数在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。

扩展资料；

范数分为半范数和赋范线性空间

赋范线性空间是当且仅当v是零矢量(正定性）时，p(v)是零矢量。若拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，那么这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。

如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数（seminorm或者叫准范数），相应的线性空间称为赋准范线性空间。

参考资料来源；百度百科——范数

百度百科——向量的模

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