振动力学主振型只有一种吗

不是，种方法可建立

1. 达朗伯原理

F=m*a

F为包括约束力的外力

F-ma=0

F+I=0，I=-ma

达朗伯将I称为惯性力

虚位移：分析力学中，虚位移是符合约束条件的无穷小位移。虚位移是空间位移，时间是固定的

虚功：分析力学中，物体上的外力在虚位移下做的功

静力学的虚功原理在动力学的版本就是达朗伯原理

F为不包括约束力的外力

I为惯性力

δr为符合系统约束的虚位移

2. 拉格朗日方程：可以由达朗伯原理推出；哈密顿原理推出；欧拉-拉格朗日方程推出

Q为非保守的广义力

L拉格朗日函数

q广义坐标

3. 影响系数法：根据物理意义，写出M、K、C

2. 保守力、有势力

保守力：力只是位置矢量的函数；力做功与路径无关，只与初末位置有关，力沿闭合路径做功之和为零

标量函数U为系统势能

保守力做功等于势能增量的负值

系统具有保守力，则一定有势能

系统有势能，则一定有保守力吗？不一定

有势力

有势力所作的虚功等于广义势变分的负值

保守力一定是有势力，但反之行不通

n个质点组成的质点系，受k个约束，自由度数s=3n-k

取s个广义坐标，q1，q2，...，qs

广义力Qj，主动力Fi，质点系所受的外力=主动力+约束力

主动力是保守力，广义力与势能的关系

主动力是有势力，广义力与广义势能的关系

参考：《有势力和保守力》王宝杏 李寿松

变分法在分析力学、有限元中有有应用

3. 最小作用量原理

光线移动的路径是需时最少的路径（也可能是需时最大的，此时加个负号不就是最小了么）

在满足许可位移时，真实位移场使物体的势能取最小值。换句话说，结构产生的位移是总势能最小时的位移

4. 正定振动系统与半正定振动系统

取决于K为正定还是半正定

仅有弹性位移的系统，K为正定的，有弹性位移与刚体位移的系统，K为半正定的

5.坐标变换矩阵

x=D*y

x是原坐标

y是主坐标

D可以不是方阵，即原坐标与主坐标个数可以不同

如果D非奇异，那么A与

性质相同

6. 主振动

主振动也称同步运动

正定振动系统，结构在所有坐标上做除了振幅不同外，运动规律相同的运动 Φ*a*sin(wt+φ) 即结构在所有坐标同频同相移动

半正定振动系统，结构在所有坐标上做除了振幅不同外，运动规律相同的运动 Φ*a*sin(wt+φ) 或 Φ*(at+b)

将运动规律带入无阻尼微分方程，可得

特征方程的特征根为固有频率的平方

归一化：求解特征向量时，先规定一个元素的值，然后计算其他元素

广义特征值问题：

7.主振型

主振型有正交性

主质量：M左乘主振型再右乘主振型，主刚度同理

假设系统同时存在i，j阶主振动

T=Ti+Tj，Ti：系统仅存在第i阶振动时的动能

U=Ui+Uj

每阶主振动的动能与势能进行能量交换，各阶主振动之间不进行能量交换

注：本章到目前为止讨论的是无阻尼系统

8 .振型矩阵

振型矩阵：各阶振型组合成一个矩阵

主质量矩阵：M左乘主振型矩阵再右乘主振型矩阵，主刚度矩阵同理

谱矩阵：主质量矩阵的逆*主刚度矩阵

9.正则化矩阵

正则化：将主振型进行变换，使得由主振型得到的主质量为1

正则振型矩阵：所有正则振型组合成的矩阵

振型矩阵就是所要找的变换矩阵

振型矩阵、正则振型矩阵可以将原坐标系，分别变换为主坐标系与正则坐标系

10.特征值出现重根的情况

如n个特征值有r个重值，则特征方程的秩为n-r

即使有重根，n个自由度系统仍有n个相互正交的主振型

11.特征值为0的情况

特征值为0表示存在刚体位移

n自由度系统有r个零根，则将其缩减为n-r自由度，也就是对其施加r个约束，施加约束会使固有频率增大或不变

12.初始条件、激励进行变换

由于主坐标或正则坐标求解方程组比较容易（已经解耦），所以要在主坐标下或正则坐标系下计算，这是需要将初始条件、激励也变换到相应的坐标系下

13. 模态叠加法

无阻尼自由振动方程

同步运动：

Φ为常数列向量，同步运动时各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动

将X带入振动方程可推出

正定系统：只发生弹性变形，固有频率全大于0

得到一系列固有频率与其对应的振型

振型矩阵

：一系列振型

组成的矩阵

正则振型矩阵

：一系列正则振型

组成的矩阵

振型

求解时，一般设最后一个元素为1，然后求解其余元素

正则振型

由振型

与质量矩阵推导得到

固有频率有重根时，所有振型之间仍然是正交的

固有频率有零根时，需要缩减自由度

利用振型矩阵或正则振型将方程解耦

第一种方程是有初始条件的自由振动，第二种方程是有激励的强迫振动

将方程解耦后，求出主坐标下的响应，再利用振型矩阵乘主坐标下的响应，得到原坐标下的响应。正则坐标同理。这也叫做振型叠加法

14. 自激振动

固有振动：无激励时系统所有可能的运动的集合。固有振动不是现实的振动，它仅反映系统关于振动的固有属性

强迫振动：系统在外界激励下所作的振动

自激振动：无外界激励输入，系统自己产生激励

自激振动与受迫振动的区别：

前者产生振动的激励由系统运动产生，系统停止运动则无激励产生也就无振动了

后者激励与运动无关系

方程

可以将其看作负阻尼力。

若将合成后的阻尼力视为负的线性阻尼力，则可求解x如下：

x虽然会越来愈大，但系统停止运动，激励也就停止

系统具有负阻尼，系统动不稳定，即振动不稳定

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