同构性与同一性的区别

同构性与同一性的区别是主体不一样。

1、同构性是多个主体，是指世界上一切事物都具有相同的或者说是相类似的系统结构叫做事物的同构性。

2、同一性是一个主体，强调矛盾双方相互联系和制约的关系,不强调对立盾双方相互立斗，统一于一个事物当中。

区别主要在于是否是一一映射。

经典例子，“实数的加法群”到“正实数的乘法群”就是同构，映射函数是对数函数，因为是一一映射；而“实数加法群”到“复平面上单位圆上面点的乘法群”，只能是同态，映射函数是e^ix，因为映射函数是以2π为周期的周期函数，所以每个单位圆上的点可以映射过来对应无穷多个实数。

相关应用：

1. 通俗来说，同构是指具有相同的代数结构。代数结构由一个或多个集合、若干运算及一些运算规则所唯一确定。代数结构相同的含义是指：除了表示集合元素的符号有可能不同外，对应集合的元素个数相同，集合上的运算一致，运算规则也完全一样。

2. 两个代数结构相同是指它们之间至少存在一个同构映射。同构映射要满足两个条件：它是集合之间的双射或一一对应；它保持代数结构的所有运算及一些特殊元素，比如，单位元、零元素等等，尽管有些要求可以由其它主要条件推出。

3. 举个例子，两个群之间的同构映射为集合之间的双射，且该映射保持群的乘法运算。即，先乘积后映射与先映射后乘积的结果一致。

4. 研究代数结构的主要目的是对其进行分类，或者说找出所有的这种代数结构。同构的代数结构可以不加区分，把它们可以看成一样的。因此，代数结构的分类就是找出该代数结构的所有同构类。

5. 如果两个代数结构不同构，为了研究它们之间的关系，可考虑它们之间保持运算的映射，这就是同态的概念。同态比同构更一般、广泛；同构只是同态的特例。

6. 同态不是同构的原因主要体现在：相应的映射不是双射，即，不是单射或不是满射。当然也可能既不是单射也不是满射。当映射不是满射时，我们只需考虑映射的像集，这个像集是原来代数结构的子结构。比如，对群的情形，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，原来的映射变成了满射！

7. 当映射不是单射时，不同的元素被映到相同的元素。这时，可以把映到同一个元素的元素看成是一样的，或者说它们是等价的。这样我们将得到一个等价关系，做商集。在这个商集上诱导的映射就是一个单射了。这就是同态基本定理的主要想法。

8. 在这个商集上可以定义类似的代数结构，使得前面提到的映射是同态。从这个商代数到上述提到的子代数诱导的映射就是一个同构映射了。

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