特殊函数有什么用

比如：1、作为一些重要的方程的解，比如Bessel函数。2、作为一些有趣的函数的延拓：比如Gamma函数。3、自然出现的或者技术上需要的：比如各种Zeta函数，各种L函数，各种椭圆函数。4、工程里或其他应用需要的：比如sinc函数。

.一次函数(包括正比例函数)

最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R

值域：R

奇偶性：无

周期性：无

平面直角坐标系解析式(下简称解析式):

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：

题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函数

在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）

值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）

奇偶性：奇函数

周期性：无

解析式：y=1/x

4.幂函数

y=x^a

①y=x^3

定义域：R

值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称

后得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象）

②y=x^(1/2)

定义域：[0，正无穷）

值域：[0，正无穷）

奇偶性：无（即非奇非偶）

周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转

90°，再去掉y轴下方部分得到的图象（类比，这个方法不能得到三次

函数图象）

5.指数函数

在平面直角坐标系上的图象（太难描述了，说一下性质吧……）

恒过点（0，1）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。

定义域：R

值域：（0，正无穷）

奇偶性：无

周期性：无

解析式：y=a^x

a＞0

性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数。

*对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数。

6.对数函数

在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称。

恒过定点（1，0）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。

定义域：（0，正无穷）

值域：R

奇偶性：无

周期性：无

解析式：y=log(a)x

a＞0

性质：与对数函数y=a^x互为反函数。

7.三角函数

⑴正弦函数：y=sinx

图象为正弦曲线（一种波浪线，是所有曲线的基础）

定义域：R

值域：[-1，1]

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为2π

对称轴：直线x=kπ/2 (k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）

⑵余弦函数：y=cosx

图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。

定义域：R

值域：[-1，1]

奇偶性：偶函数

周期性：最小正周期为2π

对称轴：直线x=kπ (k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（π/2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函数：y=tg x

图象的每个周期单位很像是三次函数，很多个，均匀分布在x轴上。

定义域：{x│x≠π/2+kπ}

值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为π

对称轴：无

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）。

反函数图像与原函数关于y=x轴对称

反函数总是相对原函数而言的，原函数如果单调，反函数也单调（当然并不是单调性完全相同），原函数定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域。其他还有周期性，对称性，都要针对原函数来考虑。

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