类和集合的区别

类 (数学)

在集合论和其他数学的应用中，类是集合(有时也可以是其他数学物件)的搜集，可以依所有成员所共享的性质被无歧定义。有些类是集合（如所有是偶数的整数所构成的类），但有些则不是（如所有序数所构成的类或所有集合所构成的类）。一个不是集合的类被称之为真类。

在数学里，有许多物件对集合而言太大，而必须以类来描述，像是大的范畴和超实数的类体之类等。要证明一给定“事物”为一真类，一般的程序是证明此一“事物”至少有着如序数一般多的元素。有关此一证明的例子，请参见自由格。

真类不能是一个集合或者是一个类的元素，而且不符合集合论中ZF公理；因此避免掉了许多朴素集合论中的悖论。而实际上，这些悖论成了证明某一个类是否为真类的方法之一。例如，罗素悖论可以证明所有不包含集合自身的集合所构成类是个真类，而布拉利-福尔蒂悖论则可证明所有序数所构成的类是一个真类。

标准的ZF集合论公理不会论及到类；类只存在于元语言和逻辑公式的等价类之中。冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论则采取了另一种方式；类在此一理论中是基础的物件，而集合则被定义为可以是其他某些类的元素的类。真类，则为不可以是其他任何类的元素的类。

在其他集合论如新基础或半集合论中，“真类”的概念依然是有意义的（不是任一堆事物都会是集合），但对质合特质的认定并不是依据其大小。例如，所有包含泛集合的集合论都会有个是集合的子类的真类。

“类”这一词有时会和“集合”同义，最为人知的是“等价类”这一术语。这种用法是因为从前对类和集合不如现今一样地区别的缘故。许多19世纪之前对“类”的讨论提及的实际上确定是集合，甚至会是个更为不清的概念。

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依我的理解，当我们说“集合”这两个字的时候，我们就承认了被严格定义的集合论公理体系。由于早先时候的朴素集合论含有悖论（例如所有集合的集合是不是集合，著名的理发师悖论源于此），后来人们定义了一些公理来规避这些悖论。而类可以用在一些含混不清，并不一定是“集合”的地方。不过书中大部分的类都是集合，只是为了文字上区分起见，例如一些集合的集合常称作类。