函数在某点的左右极限的区别与联系

这两个概念是不同的,函数f(x)在x0点的左导数f‘-(x0)是用导数定义求得的,即x趋于x0-时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0),而在x0点导函数的左极限f'(x0-)是先用求导公式求出其导函数的表达式f'(x),再在这个表达式中令x趋于x0-取极限,即x趋于x0-时limf'(x).这是两个不同的概念,完全有可能不相等,或者不同时存在.和连续的相关内容类似,左不连续的函数在该点一定没有左导数,但导函数的左极限可能存在,例如f(x)=1

x≠00

x=0这函数除了x=0点不连续从而不可导以外,其它点都可导且f'(x)=0,故x趋于0-时limf'(x)=0存在.另外如果函数左连续,导函数左极限不存在时,不一定没有左导数.例如f(x)=(x^2)sin(1/x)

x≠00

x=0可以证明在x=0处f(x)可导,且f'(0)=0,因此x=0处的左右导数都存在且都等于0,而由求导公式求出的f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)在x趋于0-时极限不存在.

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