如何判断方程有根还是无根

　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则

X1+X2= -b/a

X1*X2=c/a

用韦达定理判断方程的根

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，

由二次函数推得　若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根

由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）

可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1﹢X2=-b/a

2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

所以X1X2=c/a

（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2

（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a

又因为X1.X2的值可以互换，所以则有

X1-X2=±（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a

韦达定理推广的证明

设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixi)

…

A0=[(-1) ]×An×ΠXi

所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

一元五次方程验证:

已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。

把上式展开成：

-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0

上述方程可化简成：

a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*

(x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*

(x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0

设化简后的方程为形式3.

最后对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系:

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