矢量与矢量运算

为了表达思维，人类创造发明了语言、文字、图形图像、音乐等。

人们用语言表达概念，用不同的词语描述不同的景物，使丰富多彩的自然规律能够被彼此相互清晰而方便地理解和思考。为了使复杂系统中各种参照系内物体随时间变化产生的空间位置关系的改变，能够准确而简洁地被表述，一些新词和法则不断地被人们创造出来。矢量和矢量运算即是这种性质的产物之一。

1.矢量

当人们发现自然界中大量存在一种大小和方向同时随时间或位置变化的量时，矢量一词诞生了。矢量所描述的是既有方向又有大小的量。矢量又称向量。

尽管矢量是既有大小和方向的量，但并不是自然界中所有的既有大小和方向的量都是矢量。

有大小而无方向的量，人们称为标量，矢量的数值就是标量。

虽然一个矢量可以指的是由某一特定点所确定的量，但矢量却是无需限定位置的。即使两个矢量所量度的是在不同时间和不同空间位置的物理量，它们仍然是可以比较的。

位移是矢量，速度是矢量，角速度是矢量，作用力也是矢量。

判断一个量是否是矢量的两个条件：它必须满足矢量相加的平行四边形法则；它必须具有与坐标系的选择无关的一个数值和一个方向。

2.矢量运算

矢量运算分矢量加法和矢量乘积、矢量微商。这里只将本书中将要用到的部分作简单介绍。

2.1　矢量加法

矢量的加法符合平行四边形法则。即将一矢量a平移到尾端与另一矢量a的首端重合。然后从a矢量的尾端到b矢量的首端画一矢量，所得矢量即为矢量a与b的和a+b。

矢量加法遵从交换律，即：a+b=b+a。

矢量加法遵从结合律，即：a+（b+c）＝（a+b）＋c。

标量乘矢量遵从分配律，即：k（a+b）=ka+kb。

2.2　矢量乘积

物理学中矢量的乘法分为两种，一种叫“点乘”，其乘积是标量，故又称“标积”；一种叫“叉乘”，其乘积在很多场合下是矢量，故又称“矢积”。

a和b的标积被称为一个数，是a的数值乘以b的数值，再乘以两者夹角的余弦。用符号表示为：

a·b=abcos（a,b）

在标积的定义中不涉及坐标系。

标积满足交换律，即：a·b=b·a。

一个数被一个矢量除是一种毫无意义的、不确定的运算，所以，标积乘法没有逆运算。即：如果a·x=b，则x没有惟一的解。

矢量的标积在很多方面得到应用，如：余弦定律、平面的方程、电磁波中的电矢量和磁矢量、功率、单位时间内扫过的体积等。本书中应用了矢量标积的余弦定律。

两个矢量的叉乘在物理学中也有广泛的应用，矢积a×b在某种限定意义下是矢量，这个矢量的方向垂直于a和b的平面，而数值为ab|sin（a,b）。

判断矢积方向的方法被约定为右手螺旋法则，即：以展开的右手四指的指尖指向作为前一矢量的方向，顺着两矢量的最小夹角方向，将四指指尖转向后一矢量，卷曲四指，那么，大拇指的指向为两矢量矢积的方向。

交换两矢量的位置，其矢积结果大小相等，方向相反，即：a×b=-b×a。

矢积不满足交换律。

矢积遵从分配律，即：a×（b+c）=a×b+a×c。

矢积的应用表现在：平行四边形面积、平行六面体的体积、正弦定律、力矩、磁场中带电粒子所受的力等计算上。

2.3　矢量微商

如果矢量r能被看成是标量t这一变量的函数（矢量函数），则在不同的时刻t1、t2，矢量r（t2）、r（t1）之差△r也是一个矢量，

△r=r（t2）-r（t1）

对于△r与两时刻的时间差△t=t2-t1之比值 ，可以看成是数值为△r数值的 的共线矢量。

当△t→0时， 趋近于矢量 ，

地球动力与运动

矢量 称为矢量r的时间微商，即人们常称的速度矢量，它是质点位置随时间的变化率。

根据微商的定义和级数展开方法等数学变换，可得，当△t→0时

地球动力与运动

式中， 表示单位矢量方向的变化率。该式是取标量a（t）和矢量b（t）的乘积的微商所依从的普遍法则

地球动力与运动

的一个实例，说明速度的变化表现在两方面，一是方向的改变，一是大小的改变。

在本书中我们要用到速度的表达式转换，所以在此将另一种形式的速度表达式一并介绍，其中利用的是径向单位矢量f和垂直于它的称为 的单位矢量。

随着△t→0时，从而△θ也相应地趋于零，△f的数值

｜△f|=|f｜△θ＝△θ　（|f|=1）

于是，矢量△f和比值 各自变为

地球动力与运动

取△t→0的极限，得矢量f的时间微商

地球动力与运动

于是，速度的表达式可以表示成

地球动力与运动

在圆周运动或轨道近于圆的运动中，上式等号右端的第一项等于或近似等于零。

在本书中，我们采用的表示方式为

地球动力与运动

两矢量点乘和相乘有什么区别不是点乘与叉乘的比较，我

矢量的点乘与叉乘规则起源于四元数的乘法，令A、B为四元数(代数学意义之数)，则A与B代数乘法是 AB＝(α＋ai＋bj＋ck)(β＋xi＋yj＋zk)＝(α＋rA)(β＋rB)＝αβ＋α rB＋β rA－rA · rB＋rA × rB。α是常数，rA 是空间矢量；β是常数，rB 是空间矢量；假设 i，j，k 是三维空间虚数单位，i?＝j?＝k?＝-1； i j＝k，j k＝ⅰ，k ⅰ＝j；j ⅰ＝- k，k j＝- ⅰ，ⅰ k＝- j，后来数学和物理学应用表明假设正确，于是假设成为公理。( 1，i，j，k ) 是两两互相丄的四维正交空间的基，四元数乘法包含了实数相乘、矢量数乘、矢量点乘、矢量叉乘。四元数乘法不满足交换律。后来从四元数代数运算中驳离出矢量点乘与叉乘法则，供矢量代数、矢量分析、电动力学单独使用。

点乘 dot product

点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cos

在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则

向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

叉乘 cross product

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此

向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b= - 向量b×向量a

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则

向量a×向量b=

| i j k |

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

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