返工和返修的区别是什么?

一语惊醒梦中人1年前 (2023-12-20)阅读数 7#综合百科

文章标签积分函数

重新做和继续维修。

返

拼音fǎn注音ㄈㄢˇ

简体部首辶部部外笔画4画总笔画7画

繁体部首辵部部外笔画4画总笔画8画

五笔RCPI仓颉YHE郑码PDXW四角32304

结构左下包围电码6604区位2321统一码8FD4

笔顺ノノフ丶丶フ丶

基本解释

基本字义

返fǎn（ㄈㄢˇ）回，归：往返。返航。返工。返青（某些植物的幼苗移栽或越冬后，由黄转绿并恢复生长）。返销。返修。返还（huán）。流连忘返。

我之前回答过,也有一份存档.满意请采纳,都是自己的经验.

我从头说起吧,从基本的一元积分说到第二类曲面积分.

关于重积分的算法：

一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)

当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大)

∫(a→b) dx = L(直线长度)

被积函数不为1时,就是图形的面积(规则)

∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)

另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是

盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f?(x) dx

圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx

计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了

∫(α→β) (1/2)[A(θ)]? dθ = A(极坐标下的平面面积)

二重积分：有两个自变量z = f(x,y)

当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)

∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)

当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积

∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)

计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等

极坐标变换：{ x = rcosθ

{ y = rsinθ

{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π

∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ

三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z)

被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)

∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)

当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等

计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等

极坐标变化(切片法)：{ x = rcosθ

{ y = rsinθ

{ z = z

{ a ≤ z ≤ b

{ 0 ≤ r ≤ z?

{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ π

∫(a→b) ∫(α→β) ∫(0→z?) f(rcosθ,rsinθ,z) r drdθdz

特别地,当f(x,y,z)可表达为f(z)时、

有∫∫∫Ω dxdydz = ∫(a→b) f(z) [∫∫Dz dxdy] dz = ∫(a→b) f(z)(横截面Dz的面积) dz

横截面Dz的面积的表达式是关于z的函数.

极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ

{ y = rsinθ

{ z = z

{ h ≤ r ≤ k

{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π

∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ

极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ

{ y = rsinφsinθ

{ z = rcosφ

{ h ≤ r ≤ k

{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π

{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π

∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r?sin?φ drdφdθ

重积分都可以利用对称性来化简：

对于一重积分：

若被积函数关于y轴对称.

则∫(- a→a) f(x) dx = {0,若f(x)关于x是奇函数

{2∫(- a→a) f(x) dx,若f(x)关于x是偶函数

若被积函数关于x轴对称.

则∫(- b→b) f(y) dy = {0,若f(y)关于y是奇函数

{2∫(- b→b) f(y) dy,若f(y)关于y是偶函数

对于二重积分：

若被积函数关于y轴对称.

则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于x是奇函数

{2∫∫D? f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于x是偶函数,D?是第一挂限

若被积函数关于x轴对称.

则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于y是奇函数

{2∫∫D? f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于y是偶函数,D?是第一挂限

特别地,当积分区域是关于两个坐标轴都对称时.

而被积函数也是偶函数.则有∫∫D x? dxdy = ∫∫D y? dxdy = (1/2)∫∫D (x? + y?) dxdy

对于三重积分：

若积分域Ω关于zox面对称.

则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数

{2∫∫Ω? f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Ω?是第一挂限

若积分域Ω关于yoz面对称.

则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数

{2∫∫Ω? f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Ω?是第一挂限

若积分域Ω关于xoy面对称.

则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数

{2∫∫Ω? f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Ω?是第一挂限

特别地,当积分区域是关于三个坐标轴都对称时.

而被积函数也是偶函数.则有∫∫∫Ω x? dV = ∫∫∫Ω y? dV = ∫∫∫Ω z? dV = (1/3)∫∫∫Ω (x? + y? + z?) dV

所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而

且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了.

重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向.

又比如说,在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x) > g(x)

用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx

但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了

用不同积分层次计算由z = x? + y?、z = a?围成的体积?

一重积分(定积分)：向zox面投影,得z = x?、令z = a? --> x = ± a、采用圆壳法

V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x? dx = 2π ? (1/4)[ x? ] |(0→a) = πa?/2

二重积分：高为a、将z = x? + y?向xoy面投影得x? + y? = a?

所以就是求∫∫(D) (x? + y?) dxdy、其中D是x? + y? = a?

V = ∫∫(D) (x? + y?) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r? dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的

= 2π ? (1/4)[ r? ] |(0→a) = πa?/2

三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了

柱坐标切片法：Dz：x? + y? = z

V = ∫∫∫(Ω) dxdydz

= ∫(0→a?) dz ∫∫Dz dxdy

= ∫(0→a?) πz dz

= π ? [ z?/2 ] |(0→a?)

= πa?/2

柱坐标投影法：Dxy：x? + y? = a?

V = ∫∫∫(Ω) dxdydz

= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r?→a?) dz

= 2π ? ∫(0→a) r ? (a? - r?) dr

= 2π ? [ a?r?/2 - (1/4)r? ] |(0→a)

= 2π ? [ a?/2 - (1/4)a? ]

= πa?/2

三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度.

关于曲线积分和曲面积分的算法：

如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积比求(曲面)面积的公式容易

学完求体积的公式,就会有求曲面的公式

就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」

当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度

∫(C) ds = L(曲线长度)

被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积

∫(C) f(x,y) ds = A(曲面面积)

第二类曲线积分的应用有在力场上沿着曲线L所做的功等等

第一类对弧长的曲线积分的算法：

若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t)

则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x(t),y(t)] √[x'(t)? + y'(t)?] dt

若被积函数是y = y(x)

则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x,y(x)] √[1 + y'(x)?] dx

若被积函数是r = r(θ)

则∫(L) f(x,y) ds = ∫(α→β) f(rcosθ,rsinθ) √[r?(θ) + r'(θ)?] dθ

若积分域关于y轴对称.