映射的特点是什么？与函数的区别是什么

函数的定义为：

1．传统定义(运动学观点下的定义)：设在某变化过程中有两个变量

，如果对于自变量

在某一范围内的每一个确定的值，

都有唯一确定的值与它对应，那么就称

是

的函数，

叫做自变量.自变量

取值的集合叫做函数的定义域，和自变量

对应的

的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

2.现代定义（集合观点下的定义）：设

、

是两个非空数的集合，如果按某个确定的对应关系

，使对于集合

中的任意一个数

，在集合

中都有唯一确定的数

与它相对应，那么就称

为集合

到集合

的一个函数，记作

，其中

叫做自变量，

的取值范围

叫做函数

的定义域，与

对应的

的值叫做函数值，函数值的集合

叫做函数

的值域.

3.两个定义在本质上是一致的，只是叙述的出发点不同.

映射是定义是：设

、

是两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合

中的任意一个元素，在集合

中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应（包括集合

、

以及

到

的对应法则

）叫做集合

到集合

的映射，记作：

.

根据映射的定义，可以发现：映射强调的是一种对应关系，它是一种特殊的对应，其特点是：

（1）映射中集合

、

可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须必须有先后次序，从集合

到集合

的映射与从集合

到集合

的映射是不同的.

（2）映射包括集合

、

以及

到

的对应法则

，三者缺一不可.

（3）对于一个从

到

的映射而言，

中每一个元素必有唯一的象，但

中的每一个元素却不一定有原象，若有也不一定只有一个.

根据集合和映射的定义可以看出：函数是一种特殊的映射，是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应，还有其他的对应.

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