独异点与群的区别？

半群,独异点与群

定义1. 具有结合律的代数称半群,记为.半群对运

算封闭且满足结合律.

o

下面运算表给出一个半群.

- 197 -

o a b c d

a

b

c

d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

从表中看出,栏内元素(运算结果)不出头(表的左或上表头

元素)说明了封闭性;每个元都是右零元,必然具有结合律.值

得注意的一个事实是:每元皆为右零元的代数当且仅当其每元

均是左幺元.

再如,均为半群,而,却不是半群,因

为数的加法和乘法具有结合律,而减法和除法不具有结合律.

设为半群,如果BS,且也是半群,则称

为的子半群,记为.

o o

o

如果半群的载体S的子集B对运算是封闭的,那么

必是的子半群.因为结合律在封闭性下得到了保

持.

o

o

实数乘法半群的子半群有有理数乘法半群,

整数乘法半群等等.

定义2.含有单位元的半群称为独异点,记为;独异

点对运算封闭,可结合且含幺元.

o

整数乘法半群是个独异点,但自然数加法半群不是独异点

(前者幺元是1后者幺元要求0).

子独异点的概念相仿于子半群一样定义.不同的是多加了

一个对幺元的处置.子独异点可以保持幺元亦可以幺元另选.

例如在模6乘法独异点(其中i是I

为6除余i的等价类,i×6j=ij×,i,j=0,1,...,5.幺元是1)中,

,都是保持幺元1的子独异点,而

- 198 -

也是一个子独异点,但它的幺元已另选元素×4.

×6 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

0

1 2 3 4 5 0

2 4 0 2 4 0

3 0 3 0 3 0

4 2 0 4 2 0

5 4 3 2 1 0

0 0 0 0 0 0

载体有限的独异点,其运算表中不会出现相同行和列.因

为由幺元作运算的对应行(从左运算)列(从右运算)首先是没有

相同元素的.

定理.独异点中可逆元a,b满足 o

1.(a-1)-1=a;

2.aob亦可逆,且(aob)-1=b-1oa-1.

证明: 设e为的幺元,则 o

1.由aoa-1=a-1a=e知(a-1)-1=a; o

2.由(aob)(b-1a-1)=a(bob-1)oa-1=aa-1=e oooo

及(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=e知 (ab)-1=

b-1a-1.

oooooooo

o

定义3.每元均可逆的独异点称为群,记为.群对运

算封闭,具有结合律,含有幺元且每元均可逆.

例如有理数关于加法构成群:(1)有理数对加法封闭;(2)有

理数对加法具有结合律;(3)幺元是数0;(4)每一元素的逆元是

其相反数.有理数关于加法构成的群称有理数加法群.

同样还有整数加法群,实数加法群及复数加法群等.另

外,Q-{0},R-{0},C-{0}这三个集合关于数的乘法也形成群,分别

称为有理数乘法群,实数乘法群和复数乘法群.

例1.设P={A|A为n阶可逆矩阵};" "为矩阵乘法,则是一个群.

这是因为,具有封闭性,矩阵乘法具有结合律,而且在

乘法运算下,单位矩阵即为幺元,P中每个矩阵的逆阵也就是它的

逆元.

定义4.群中载体所含的元素个数称为该群的阶,记为

|G|.当|G|有限时,称为有限群,否则称为无限群,或

称的阶数为无穷大.

o

o

群,独异点,半群和代数系统之间的关系是:

. o

群具有极好的性质,下面我们以"事实"的形式来介绍它.

事实1.阶数大于1的群中无零元.

因为:在阶数大于1时,零元无逆元(它与任何元运算都是

零元0而不可能是幺元e).

事实2.群中一元一次方程aox=b及yoa=b总有解.

其解可构造为:x=a-1b,y=ba-1. oo

事实3.群中具有消去律,即若ab=aoc则b=c;或者

若ba=coa则b=c.

o

o

事实上,b=eb=(a-1a)b=a-1(ab)=a-1(ac)=

(a-1a)oc=c;

ooooooo

o

且b=be=b(aa-1)=(ba) a-1=(ca)a-1=

co(aa-1)=ce=c.

ooooooo

oo

但是具有消去律的半群,独异点未必就是群,如是半群也是独异点并且具有消去律,然而它不是群(幺元1以

外的元无逆元).

事实4.群中幺元以外的元均不幂等.

不然,e≠a,a幂等:a=aa,则a=ea=(a-1a)a=a-1(aa)

=a-1a=e,矛盾.

oooooo

o

事实5.有限群的运算表中的每行,每列都是群中元素的一

个置换.

- 200 -

事实5是事实3的一个显然的结果.

下面介绍子群.

定义5.设是群,若G的非空子集S关于运算o也构

成群,则称为的子群,记为 . oo

任何一个群至少有两个子群:和自

身,称作群的平凡子群.

ooo

关于子群,有以下命题成立.

命题1.子群保持群的幺元. oo

证明: 因为是群,故有幺元e1;是群,有幺元

e.所以g∈S当有e1og=g,但 ,故e1og=g

在中亦成立.从而有e1og=g=eog.由消去律便得e1

=e.

o

命题2.设是群,S是G的有限非空子集,如果S关于

运算封闭,那么是子群.

o

o

证明:b∈S,由S对的封闭性,知b,b2,b3,...,bi,..., bj,...都

是S中元素.S非空有限,b的幂次序列中当有相同元,不妨设

bi=bj,并得bi=biobj-i,但bie=bi=bibj-i.由消去律,得bj-i

=e,即除了具有封闭性而保持结合律外,还具有幺元e.

考虑bj-i=e.若j-i=1,则b=e,b-1=e;若j-i>1则bj-i-1b=e,

b-1=bj-i-1,这对b∈S都对.故是群,因而是子群.

o

oo

o

如果S是G的无限子集,则结论不能成立.例如,是

群,N对+封闭,但不是子群.因为自然数在加法下没有

逆元(相反数不属N),所以如此,是因为任一自然数形成的加法

幂序列中,没有相同元!

命题3.设是群,S是G的非空子集,则是

的子群的充要条件是满足下列两个条件:

o

(1)对运算o具有封闭性;

(2) x∈S,有x-1∈S.

证明:如果是群,则它显然满足上面两个条件.反之,o

- 201 -

设满足条件(1),(2),则有eo∈S(e=xox-1∈S),而运算的结合

律既然在中成立,当然在中也成立,故是群. o

命题4.子群的判定:

设是群,S是G的非空子集,如果对任意a,b∈S都

有aob-1∈S,则是的子群. o

证明:

(1)S非空,有a,a∈S, 由条件, aoa-1=e∈S, 所以S含幺;

(2)e∈S, aS, 由条件, a-1=ea-1 ∈o∈S, 所以S中每元均可

逆;

(3) a,bS,由(2)证知a,b-1∈∈S,由条件,a(b-1)-1=ab

S.所以S对运算o封闭.

oo

∈

(4)由(3),S对o运算封闭,对 a,b,c∈S,(aob) o

c和a(boc)都属S,但它们在G中是同一元,当然在G的子

集S中还是同一元,即:a(boc)=(ab)oc.可见是子群.

o

ooo

在命题4中,如将条件" a,b∈S,都有ab-1o∈S"改为

"a,bS,都有a-1ob ∈∈S",其结论仍真而证明亦相仿.

定义6.如果群关于运算o有交换律,则称其为交换群,

或称为Abel群.

o

显然,都是Abel群,而例1中不是

Abel群,因为矩阵乘法不具有交换律.

对aG, 记a2=aoa; 一般an=an-1a, 称为a的n次幂元.

使用这一记法,我们有下述事实:

∈o

群是Abel群,当且仅当对任意的a,b∈G,都有:

(ab)2=a2ob2. o

定义7.由一个元素a的全体幂元构成的群,称循环群,元

素a称为循环群的一个生成元,循环群由a生成,所以往往就

以(a)表示这个循环群.

这里所说a的全体幂元包含a的"负幂元",即a-1的幂

元,a-n=(a-1)n.

- 202 -

如果循环群由a生成,则G={an|no∈I},而当|G|=n

时,G={e,a,a2,...,an-1}.

显然,对任何一个群中的任何一个元素a,若记

S={x|x=e或存在nI,使x=an},则是的一个循环子

群.

o

∈

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