几何难题求解答过程（辅助线忽略）！

想了一个月，仅想出如下一种解法，没找到别的更好的方法。

直接证明DP的连线垂直AP实在难，试了N多方法均无功而返，最后不得已绕了个“曲线”：过P作AP的垂线，设这个垂线交BE于Z。由于过P与AP垂直的直线只有一条，则PZ即PD，同一条直线与CF的交点只有一个，则Z即D，也是BE、CF的交点。题设等价于——PZ、BE、CF三线共点。即求证Z也在CF上，转化为求证F、Z、C三点共线，也就是最终以梅涅劳斯定理作结。

将此题“退化”后得到最简形式，如图一，即Rt△ABC的边BC中点为O，AC、AB上分别取点E、F，连接BE与CF交于D。连接EF，取EF中点G，过A作OG的垂线交OG于H，在AH的延长线上截得P点，使HP=AH。连接PD，求证AP⊥PD。转化后的等价形式如图二：过P作AP的垂线，交BE于Z。

注意到：连接PB、PC后得到Rt△PBC，连接PF、PE后得到Rt△PFE，△PFE∽△PBC。任何以P为直角顶点、另两个顶点分别落在AB、AC上的直角三角形都与△PBC相似。如图三（易证，因为这些直角都有公共顶点P且∠ABP=∠ACP）

进入主题，如右图：过P作AP的垂线，交BE于Z。欲证F、Z、C三点共线，由梅涅劳斯逆定理，只需证明AF/BF*BZ/ZE*EC/CA=1 ①

连接PF、PE，ZP与CA的延长线交于M

易得△PAF∽△PME，得AF/ME=PF/PE

易得△PBF∽△PCE，得BF/CE=PB/PC

由于PF/PE=PB/PC，所以AF/ME=BF/CE，即AF/BF=ME/CE代入①得

BZ/ZE=CA/ME ? ② ?

欲证此式，只需转化BZ/ZE，过B作HO的平行线交CA的延长线于N，得BZ/ZE=NM/ME代入②得NM=CA

此时延长OH交AM于K，由PZ//HG，AH=HP，得AK=KM。又因为BN//HO，BO=OC，得NK=KC。所以NM=CA，得证。

把所有步骤反过来写，即为题解。

解：设Z、N为△ABC的内切圆⊙I与AB、AC边的切点,连接MN、ZN、ID、DM、DN

因为AB=AC所以∠B=∠ACB, 因为⊙I是△ABC的内切圆所以∠NMC=∠MNC MD//AC所以∠MNC=∠DMN,PC垂直于MN。又∠DMB=∠DNM=∠ACB所以∠DMN=∠MDN=(180°-∠ACB）/2=90°-∠ACB/2，∠ZNM=180°-(180°-∠A）/2-(180°-∠ACB）/2=∠A/2+∠ACB/2=90°-∠B/2所以∠DMN=∠ZNM所以弧DZ=弧ZM ,弧ZN=弧DM。又PC垂直平分于MN，所以PC垂直平分弧MDN ，PC垂直平分弧DZ,所以PD=PZ,△IDP≌△IZP所以∠PDI=∠PZI=90°，故PD是⊙I的切线。 参考： http://zhidao.baidu.com/question/386053022.html

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