等比级数和调和级数的区别

定义和收敛性质不同。

1、定义不同：等比级数是一组首项相等、公比相等的数列所构成的无限数列；而调和级数是将一个正整数逐个取倒数并求和得到的无限序列。

2、收敛性质不同：等比级数在公比绝对值小于1时会收敛，否则会发散；而调和级数在任何情况下都会发散。

形如1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数(还可以推广到等差数列的倒数之和)；

也是P-级数(自然数数列的整数p次幂的倒数之和)的特例；黎曼zeta函数也由此得来。

Euler(欧拉)在1734年，利用Newton在一书中写到的结果：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 -，得到：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...

于是：

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

代入x=1,2,...,n，就给出：

1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...

1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...

......

1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...

相加，就得到：

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + {1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...}

= ln(n+1)+γ(n)

当n趋于无穷大时，γ(n)收敛为常数，记成γ.

欧拉当时近似地计算得到0.577218,1761年又计算到第16位；1790年，意大利数学家马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并进一步计算之。其部分数值：0.57721566490153286060651209....

这个数一般称作欧拉常数，目前没有公认的成果判定该数是否为无理数。

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +... >1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...,显然后者为无数个1/2的和，是发散的。

(类似可证当p>1时，p-级数却是收敛的

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