关于初中数学二次函式的题目.

关于初中数学二次函式的题目..

m为4或（-3/2）

(1)解：因为函式Y=mx^2+(m^2-m)x+2的影象关于Y轴对称，

所以对称轴就是Y轴。

所以-（m^2-m)/2m=0 (m不等于0）

解得m=1

(2)先求抛物线Y=x^2-x-n的对称轴：根据对称轴方程x=-b/2a解得x=1/2.且二次项系数大于0，所以抛物线开口向上，对称轴在Y轴的右侧。若使方程x^2-x-n=0没有实数根，抛物线的顶点只能在第一象限。

初中数学--考考你

悬赏分：75 - 离问题结束还有 11 天 15 小时

已知：△ABC中，AB=√13,BC=6,AC=5.在这个三角形内部作两个矩形，使一个矩形的一条边在AB边上，使另一个矩形的一条边在BC边上。

求证这两个矩形的最大面积相等。

希望采纳

31. 2012娄底

24．已知二次函式y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．（1）求这个二次函式的解析式；

（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的座标；如果没有，请说明理由．

解答：解：（1）∵二次函式y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，

令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①，则有：

x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m．∴===，

化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．

当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；

当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．

（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．

如图所示，连线PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点．

∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，

∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．

∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．

在Rt△PAD与Rt△CBO中，∵，∴Rt△PAD≌Rt△CBO，

∴PD=OC=2，即yP=2，∴直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1，∴P（﹣1，2）．

所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点座标为（﹣1，2）．

32. 2012福州

22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的座标；

(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的座标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．

A

B

D

O

x

y

第22题图①

A

B

D

O

x

y

第22题图②

N

解答：解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．

∴，解得：．∴抛物线的解析式是y＝x2－3x．

(2)设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，

得：4＝4k1，解得k1＝1．∴直线OB的解析式为y＝x．

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．

∵点D在抛物线y＝x2－3x上．

∴可设D(x，x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上，

∴x2－3x＝x－m，即x2－4x＋m＝0．

∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△＝16－4m＝0，解得：m＝4．

此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴D点座标为(2，－2)．

(3)∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，

∴点A关于直线OB的对称点A'的座标是(0，3)．

设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，

∴4k2＋3＝4，解得：k2＝．∴直线A'B的解析式是y＝x＋3．

∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上，

D

A

B

O

x

y

N

图1

A'

P1

N1

P2

B1

∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，

∴n＋3＝n2－3n，

解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，∴点N的座标为(－，)．

方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则N1(－，－)，B1(4，－4)，∴O、D、B1都在直线y＝－x上．

∵△P1OD∽△NOB，

∴△P1OD∽△N1OB1，∴＝＝，∴点P1的座标为(－，－)．

将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．

图2

A'

N2

P1

P2

B2

A

B

D

O

x

y

N

综上所述，点P的座标是(－，－)或(，)．

方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，

则N2(，)，B2(4，－4)，

∴O、D、B2都在直线y＝－x上．

∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N2OB2，

∴＝＝，∴点P1的座标为(，)．

将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－，－)．

综上所述，点P的座标是(－，－)或(，)．

33. 2012南昌

27．如图，已知二次函式L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函式L1的开口方向、对称轴和顶点座标；

（2）研究二次函式L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函式L2与二次函式L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

解答：解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；

∴﹣=﹣=2，==﹣1；

∴二次函式L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点座标（2，﹣1）．

（2）①二次函式L2与L1有关图象的两条相同的性质：

对称轴为x=2或定点的横座标为2，都经过A（1，0），B（3，0）两点；

②线段EF的长度不会发生变化．

∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k=8k，

∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，

解得：x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化．

34.2012?恩施州

24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函式关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的座标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

解答：

解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得故直线AC为y=x+1；

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

故直线DN′的函式关系式为y=﹣x+，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

∵点E在直线AC上，

设E（x，x+1），

①当点E线上段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；

②当点E线上段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，

则F（x，x﹣1）由F在抛物线上

∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=

∴E（，）或（，）

综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）

∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x﹣1）=﹣x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ?AG

=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）

又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+

∴△APC的面积的最大值为．

35. 2012?兰州

28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为座标原点，A、B两点的座标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函式关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连线BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的座标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连线PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函式关系式，并写出自变数t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的座标；若不存在，说明理由．

解答：

解：(1)∵抛物线y＝经过点B(0，4)∴c＝4，

∵顶点在直线x＝上，

∴；∴所求函式关系式为；

(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝，

∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，

∴C、D两点的座标分别是(5，4)、(2，0)，

当x＝5时，y＝，

当x＝2时，y＝，

∴点C和点D都在所求抛物线上；

(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函式关系式为y＝kx＋b，则，

解得：，∴，

当x＝时，y＝，∴P()，

(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON＝，

设对称轴交x于点F，

则(PF＋OM)?OF＝(＋t)×，

∵，

()×＝，

S＝(－)，＝－(0＜t＜4)，S存在最大值．

由S＝－(t－)2＋，∴当S＝时，S取最大值是，

此时，点M的座标为(0，)．

36. 2012南通

28．（本小题满分14分）

如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为座标原点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

解答解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：

0+c=-4 1 2×4-2b+c=0 ，

解得：b=-1 c=-4

∴抛物线的解析式：y=x2-x-4．

（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：

y=（x+m）2-（x+m）-4+7 2，

即：y=x2+（m-1）x+12 m2-m-1 2；

它的顶点座标P：（1-m，-1）；

由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；

那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；

当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=5 2；

当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；

∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜5 2；

又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2．

（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN?AM1；

易得：AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2．

综上，AM的长为6或2．

36. 2012常德

25、如图11，已知二次函式的影象过点A(-4，3），B(4，4).

（1）求二次函式的解析式：

（2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的座标；若不存在，请

说明理由。

解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代人中，整理得：

解得

∴二次函式的解析式为： ，

整理得：

（2）由 整理

∴X1=-2 ，X2= ∴C（-2，0）D

从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65

∴AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形

（3）设 （X0,b