因式分解和分解因式有什么区别?。。

在本质上来说没有什么区别。

就是倒着来理解，

因式分解应该是老师讲题时的名词

分解因式是给你题

让你按照老师讲的方法

来解决出来。（要有步骤详细方法）

因式分解很简单。。。。。

因式分解，也叫分解因式，

因式分解，是主谓短语，

分解因式，是动宾短语，

就是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；

如果需要示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”，

“月” 和 “目” 就是长为 3，宽分别是 a、b 的两个长方形，

写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式，

如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3(a + b) 的一个长方形，

把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子，就是因式分解。

分解因式，也正如分解质因数，

分解质因数，是要把整数变成一个个质数的乘积，在因数中去掉合数；

分解因式，就是把整式变成一个个因式的乘积，尽量降低各个因式的次数，

具体方法，

第一步，提取公因式

这也是最简单的方法，

公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些我们都熟悉了），

而且，公因式还可能是一个式子，

例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)

原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )

= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5

= 5( a + b )( m + n )

第二步，公式法

就是把整式乘法的公式倒过来用，

a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，

a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，

a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差，

a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，

a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差，

熟悉公式，熟悉平方数、立方数是关键，

平方差还有两个完全平方相减的式子，

例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"

= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]

= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )

= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

完全平方式应该注意

( a - b )"

= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"

= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"

而且

( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"

= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"

公式或许就只有一个

( a + b )" = a" + 2ab + b"

立方和、立方差

原来两个三次项，分解因式变成五个项，

两个是一次项、三个是二次项，

a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )

a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )

我们看看特征，

两个一次项 a 和 b，正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；

三个二次项，a" + b" 还是平方和，中间项 ab 就要与一次项相反。

或者，

看分解因式的五个项，

立方和，只有二次项 ab 为负，其余全都是正；

立方差，除了一次项 b 为负，其余全都是正。

想一想，

二次项 ab，如果立方和换成 +ab，立方差换成 -ab，

再变成 2 不就成了完全立方吗？怎么是立方和、立方差呢？

( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'

( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'

这样看来，立方和是 -ab，立方差是 +ab，就是要加大与完全立方的差别啊！

为了熟悉公式，我们也应该取简单的数字算一算，

2"' - 1"' = 8 - 1

= 7 = 1 X 7

= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )

相信我们都知道，分解因式是这五个项，

相对困难就是正负符号，不知怎样确定，

这样只要算一算，就能够帮助自己确定符号了。

第三步，二次三项式分解

我建议，十字相乘法，结合分组分解法一同使用，

正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )

把单项式 mx = (a+b)x ，拆开变成 ax + bx ，

就能够分组提公因式进行分解。

关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二，

常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；

一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；

前面已经说过，完全平方，b" 必然都是 +b"，

x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"

x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"

再看看 x" ± 10x ± 24，分解因式 4 种情况都有，

如果常数项是正数，

一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；

x" + 10x + 24

= x" + 4x + 6x + 24

= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )

= ( x + 4 )( x + 6 )

常数项 +24 不变，一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和，

x" - 10x + 24

= x" - 4x - 6x + 24

= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )

= ( x - 4 )( x - 6 )

如果常数项是负数，

一次项系数就是分开两个项的相差数；

x" - 10x - 24

= x" - 12x + 2x - 24

= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )

= ( x - 12 )( x + 2 )

常数项 -24 不变，一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数，

x" + 10x - 24

= x" + 12x - 2x - 24

= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )

= ( x + 12 )( x - 2 )

像这样的二次三项式，还有

x" ± 5x ± 6，

x" ± 10x ± 24，

x" ± 15x ± 54，

x" ± 20x ± 96，

x" ± 25x ± 150，

……

8x" ± 26x ± 15，

8x" ± 52x ± 60，

8x" ± 78x ± 135，

……

或者说，这些也就是两组，

x" ± 5xy ± 6y" ，

8x" ± 26xy ± 15y" ，

它们包括了多种具体情况，

让我们也都取值做一做，

感受一下其中的奥秘吧。

二次三项式，分解因式，

这样也是技巧、窍门，

关键就看 c 与 a 的正负，

只要熟悉这个方法，

x" + bx + c，

ax" + bx + c，

ax" + bxy + cy"，

我们都同样做得方便。

复杂的多项式，配方法

如果上面这些方式方法都不熟悉，

或者二次三项式看起来复杂，不知所措，

还可以使用配方法，

我们还是看看 x" - 10x - 24 ，

x" - 10x - 24

首先配方，把二次项和一次项，变成完全平方，

= x" - 10x + 5" - 25 - 24

= ( x - 5 )" - 49

分解因式，用平方差公式

= ( x - 5 )" - 7"

= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )

= ( x - 12 )( x + 2 )

分解之后，还要检验

确保分解彻底，因式分解变形正确，

例如 x^6 - y^6，应该

= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )

= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )

相当于 64 - 1，

= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )

= 1 X 7 X 3 X 3

如果先用立方差，做成

= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )

= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )

= 1 X 3 X 21

就还有 21 不是质因数，分解不彻底，也就不正确了。

正如现在的平方差，有两个完全平方式相减，

现在要求分解的式子都比较复杂，要想还原就不方便了，

各种类型的式子，我们就都要熟悉两三种解答方式，

看看不同的方式方法是不是同一个结果，

这样才能够相互检验，确保解答正确。

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