什么是一致性风险测度?var是一致性风险测度吗?

小肉包1年前 (2023-12-22)阅读数 13#综合百科

一致性风险测度Artzner对风险测度（risk measure）定义了一系列的理想性质，满足了这些性质的风险测度称为一致性风险测度（coherent risk measure）。传统的VaR指标并不是一致性风险测度，因为VaR指标不满足次可加性。假设x是一个深度虚值（deep out-of-the-money）的看跌期权，y是一个深度虚值的看涨期权。

1、次可加性（Sub-additivity）：ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。当把资产x和资产y组合起来，那么合并后的投资组合的风险水平不会超过两项个体资产的风险水平之和。次可加性与投资组合分散化可以降低风险这个原则是一致的。

2、单调性（Monotonicity）：如果在未来的每一种状态下， X≤Y，那么ρ（X）≤ρ（Y）。换而言之，如果资产x的损失金额始终小于等于资产y，那么资产x的风险水平小于等于资产y。

3、正齐次性（Positive Homogeneity）：对于λ>0，ρ（λX）= λρ（X）。正齐次性指如果资产的构成保持不变，那么资产的风险水平与资产的规模成正比。

4、平移不变性（Translation Invariance）：对常数c，ρ（X+c）= ρ（X）-c。在未来每一种状态下的损失金额的基础上，都可以获得现金c作为补偿，那么风险水平也相应下降了c。

一致性风险度量的特征

任何可以接受的风险度量都必须满足以下的四个性质，并把满足以下四个性质的风险度量称为一致性风险度量（coherentmeasureofrisk）：次可加性、正齐次性、单调性、平移不变性。对于风险度量过程中需要遵循的原则，目前较为完备的风险度量原则体系主要是ADEH体系，即一致性风险度量体系。

1.什么是数学期望？

数学期望亦称期望、期望值等。在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每一次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和。

这是什么意思呢？假如我们来玩一个游戏，一共52张牌，其中有4个A。我们1元钱赌一把，如果你抽中了A，那么我给你10元钱，否则你的1元钱就输给我了。在这个游戏中，抽中的概率是113(452)113(452)，结果是赢10元钱；抽不中概率是12131213，结果是亏1元钱。那么你赢的概率，也就是期望值是?213?213。这样，你玩了很多把之后，一算账，发现平均每把会亏?213 ?213元。一般在竞赛中，若X是一个离散型的随机变量，可能值为x1,x2x1,x2……，对应概率为p1,p2p1,p2……，概率和为1，那么期望值E(X)=∑ipixiE(X)=∑ipix

对于数学期望，我们还应该明确一些知识点：

（1）期望的“线性”性质。对于所有满足条件的离散型的随机变量X，Y和常量a，b，有：E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)；类似的，我们还有E(XY)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)+E(Y)。

（2）全概率公式?假设{Bn∣n=1,2,3,...Bn∣n=1,2,3,...}是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合BnBn是一个“可数集合”，则对于任意事件A有：

P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)

（3）全期望公式?E(Y)=E(E(Y∣X))=∑iP(X=xi)E(Y∣X=xi)

2.方差(variance)：方差是衡量在期望μ=E(X)μ=E(X)(均值)附近震荡程度的量可用下式计算

Var(X)=E(X?μ)2

一个等价的公式是：

Var(X)=E(X2)?E2(X)

方差的性质:

(1)?Var(X)≥0Var(X)≥0,Var(c)=0Var(c)=0,指常数没有震荡。

(2)?Var(cX)=c2Var(X)Var(cX)=c2Var(X)?此公式提供了改善震荡的一个方法那就是将随机变量取值进行伸缩。

(3)?Var(X+c)=Var(X)Var(X+c)=Var(X),对所有随进变量取值进行平移不改变震荡程度。

(4)?独立的随机变量之和的方差等于方差的和(Remark:均值的这个性质不要求随机变量独立)

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

Proof:

Var(X+Y)=E(X2+Y2+2XY)?E2(X)?E2(Y)?2E(X)E(Y)