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向量的内积和外积的区别

一语惊醒梦中人1年前 (2023-12-01)阅读数 23#综合百科
文章标签向量内积

向量的内积和外积在计算方式、几何意义以及各自的性质上都有区别。具体如下:

1、计算方式不同

向量的内积(点乘/数量积),是对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作;向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

2、几何意义不同

内积(点乘)的几何意义包括:表征或计算两个向量之间的夹角;向量在a向量方向上的投影;在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

3、性质不同

内积性质:a^2≥0;当a^2 = 0时,必有a?= 0.(正定性);(λa?+μb)×c?=λa×c?+μb×c,对任意实数λ,μ成立(线性);cos∠(a,b) =a×b/(|a|×|b|);|a×b|≤|a||b|,等号只在a与b共线时成立。

向量外积的性质:a?×?b?= -b?×?a(反称性);(λa?+μb) ×?c?=λ(a?×c) +μ(b?×c)(线性)。

向量的内积和外积的区别

区别如下:

1、含义概念不同。

一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积,又叫作点积,结果是一个数;一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积,外积是一种特殊的克罗内克积,结果是一个矩阵。

数量积(也叫内积,点积),是数量,是实数。向量积(也叫外积,差积),是向量。

2、性质不同。

内积性质:a^2≥0;当a^2 = 0时,必有a?= 0.(正定性);(λa?+μb)×c?=λa×c?+μb×c,对任意实数λ,μ成立(线性);cos∠(a,b) =a×b/(|a|×|b|);|a×b|≤|a||b|,等号只在a与b共线时成立。

外积性质:a?×?b?= -b?×?a(反称性);(λa?+μb) ×?c?=λ(a?×c) +μ(b?×c)(线性)。

外积

几何意义:向量a与 b的外积 a× b是一个向量,其长度等于| a× b| = | a|| b|sin ∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。0×a = a×0 = 0。此外,对任意向量a,a×a=0。a与b的外积在数值上等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。

基本性质:a × b = -b × a(反称性);(λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c)? (线性)。

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