不定等式是什么？它和不定方程有什么关系吗？

梵高1年前 (2023-12-23)阅读数 5#综合百科

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所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组

一次不定方程

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。设、是该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解可表示为.

S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。

埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：

一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。

二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 b > 0，（a，b) = 1，且a，b为一奇一偶。

推论：勾股数方程的全部正整数解（x，y的顺序不加区别）可表示为：

|其中 a > b > 0 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d是一个

（特殊方程之勾股数方程2)

整数。

勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。

3．定义3.方程 x^2 - dy^2 = ±1，±4 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）是 x^2 - dy^2 = c 的一种特殊情况，称为沛尔（Pell）方程。

这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程 x^2 - dy^2 = c 的研究，其中c，d都是整数，d > 0 且非平方数，而 c ≠ 0。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解（x，y），则称使 x + yd^0.5 的最小的正整数解为它的最小解。

定理4.Pell方程 x^2 - dy^2 = 1 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）必有正整数解，且若设它的最小解为（x_1，y_1），则它的全部解可以表示成：

（特殊方程之佩尔方程1)

上面的公式也可以写成以下几种形式：

（特殊方程之佩尔方程2)

（特殊方程之佩尔方程3)

（特殊方程之佩尔方程4)

定理5.Pell方程x^2 - dy^2 = -1 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为（x_1，y_1），则它的全部解可以表示为

（特殊方程之佩尔方程3)

|定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程 x^n + y^n = z^n (n≥3且为整数）无正整数解。

费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。

5简单例题

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例1 求11x+15y=7的整数解．

解法1 将方程变形得11x=7-15y

因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为x0=2,y0=-1

解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得

11×（-4)+15×⑶=1，

所以

11×（-4×7)+15×（3×7)=7，

可取x0=-28，y0=21．从而

可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．

例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．

解因为（6，22)=2，所以方程两边同除以2得

3x+11y=45． ①

由观察知，x1=4，y1=-1是方程

3x+11y=1 ②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．

当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是

例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．

分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．

解用方程

7x+19y=213 ①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．T儆*5除此式的两边得

2u+5v=3． ④

由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为

由于要求方程的正整数解，所以

解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为

当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

例4 求方程37x+107y=25的整数解．

解 107=2×37+33，

37=1×33+4，

33=8×4+1．

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4

=37-9×（37-33)=9×33-8×37

=9×（107-2×37)8×37=9×107-26×37

=37×（-26)+107×9．

由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是

x0=25×（-26)=-650，y0=25×9=225

是方程37x+107y=25的一组整数解．

所以原方程的一切整数解为

例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是

7x+5y=142. ①

所以

由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5|2(x-1）．因为（5，2)=1，所以5|x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为

所以，共有4种不同的支付方式．

说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．

多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．

例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．

解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为

用前面的方法可以求得①的解为

②的解为

消去t，得

大约1500年以前，中国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．

例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组

①化简得 15x+9y+z=300． ③

③-②得 14x+8y=200，