什么是映射

数学定义

设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f：A→B。

其中，b称为元素a在映射f下的像，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原像。集合A中所有元素的像的集合记作f(A)。

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。

如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合（不限于数），我们可以得到映射的概念：

映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。

按照映射的定义，下面的对应都是映射。

⑴

设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，集合A中的元素x按照对应关系“乘2加1”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。

⑵

设A=N*，B={0,1}，集合A中的元素按照对应关系“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。

⑶

设A={x|x是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x按照对应关系“计算面积”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。

⑷

设A=R，B={直线上的点}，按照建立数轴的方法，是A中的数x与B中的点P对应，这个对应是集合A到集合B的映射。

⑸

设A={P|P是直角坐标系中的点}，B={(x,y)|x∈R,y∈R}，按照建立平面直角坐标系的方法，是A中的点P与B中的有序实数对(x,y)对应，这个对应是集合A到集合B的映射。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。

——映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（多对一）。

(由定义可知,图1中所示对应关系不是映射，而其它三图中所示对应关系就是映射。)

或者说,设A B是两个非空的集合，如果按,某一个确定的对应关系f.使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个函数

映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：

1．定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象

2．对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应

映射的分类：

映射的不同分类是根据映射的结果进行的，从下面的三个角度进行：

1．根据结果的几何性质分类：满射（到上）与非满射（内的）

2．根据结果的分析性质分类：单射（一一的）与非单射

3．同时考虑几何与分析性质：满的单射（一一对应）。

集合AB的元素个数为m,n,

那么，从集合A到集合B的映射的个数为n的m次

■函数和映射，满映射和单映射的区别

函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。

即满映射f: A→B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。

“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。

“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。我们称a是原像，b是像。写作f: A→B，元素关系就是b = f(a).

一个映射f: A→B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原像。

在函数的定义中不要求是满射，就是说值域应该是B的子集。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。）

象集中每个元素都有原象的映射称为满射 ：

即B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原像可以多个）

原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 ：

若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的真子集

单射和满射可共同决定为一一双射。

映射和函数的区别有：定义区别、范围区别、值域和定义域对应的区别。

定义区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

范围区别：函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系，集合中的元素都有方向。光从它们的定义，我们就能分辨出，映射的范围要比函数的范围广；映射对应的是两个集合，而函数对应的则是两个数集。

值域和定义域对应的区别：对于函数来说有先后关系，即定义域根据对应法则产生的值域，而对于映射来说没有先后关系，两个集合同时存在，所以函数值域中的每个数都有定义域中的数和它对应，而映射像中的元素则不一定有原像中的元素与他对应。

映射和函数的相同点：

(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系；

(2)函数与映射的对应都具有方向性；

(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性，即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应。（多值函数除外，这类函数一般不纳入函数的范畴）

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