一次函数中的数学思想:数学中有哪些数学思想

在学习一次函数时,不少学生感觉困难,其实,只要能正确把握数学思想,就可使解题思路开阔,问题从而迎刃而解。　　一、数形结合思想　　形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面,加强数形的结合是一次函数学习中的重要特征。数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法,它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了。

例:如图,表示东风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系;以及摩托车厂一天的销售成本与摩托车销售量的关系。

(1)试写出销售收入与销售量之间的函数关系式;

(2)试写出销售成本与销售量之间的函数关系式;

(3)当一天的销售量为多少辆时,销售收入等于销售成本?

(4)当一天的销售超过多少辆时,工厂才能获利?

解:?1?y = x

∵ 直线过?0,2?、?4,4?两点,

∴ y=kx+2

又4=4k+2

∴k=1/2

∴y=1/2x+2

点评:根据图像回答问题,只要细心观察图像,答案容易找到。由函数图像解答问题的方法为“数形结合”,即在图像上由相应点(形的特征)得出对应的坐(数的表示),形成由数表示形,由形反映数,构建“数”与“形”的统一。

二、转化思想

巧妙的运用“转化”是“一次函数”学习中另一思想方法特征:把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题,把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题,把实际问题转化为函数模型问题,从而利用函数的概念及性质解决实际问题。

例:蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比。一支蜡烛如点6分钟,剩下蜡烛的长度为12厘米;如点16分钟,剩下蜡烛的长度为7厘米;假设蜡烛点燃x分钟,剩下烛长y厘米。求出y与x之间的函数关系式,画出图像,并求这只蜡烛燃完需多少时间?

思路分析:蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比,可设a=kx(a为点燃掉的长度),若蜡烛长为b厘米,则y=b-a,即y=b- kx,所以y与x之间是一次函数关系,由于点燃的时间是有限的,因此,其图像是一条线段。

解:设蜡烛长为b厘米,x分钟燃掉kx厘米(k>0),则y=b-kx

由题中已知条件可知:x=6时,y=12;x=16时,y=7

由此可得:12=b-6k

7= b-16k

解这个方程组,得:k=1/2

b =15

所以,y与x之间的函数关系式为:y=15-1/2x

由x=0 时,y=15且 y=0时,x=30

所以,连接两点A(0,15)和B(30,0)的线段就是函数y=15-1/2 x(0≤x≤30)的图像,蜡烛燃完的时间是30分钟。

点评:把实际问题转化为函数模型问题,从而利用函数的概念及性质解决实际问题。

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大学高难度数学题有证明题，实变函数，泛函分析，高等代数等题。

这些题中涉及的基础部分微积分，是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。

十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。

整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。

极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

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