标量场的方向导数和梯度的本质区别

标量场是指一个仅用其大小就可以完整表征的场。一个标量场u 可以用一个标量函数u(x,y,z)来表示。标量场分为实标量场和复标量场，其中实标量场是最简单的场，它只有一个实标量，而复标量是一个复数的场，它有两个独立的场量，这相当于场量有两个分量。最常用的标量场有温度场，电势场，密度场，浓度场等等。在标量场中，需要注意的是等值面、方向导数、梯度这几个量。

中文名

标量场

外文名

Scalar Field

别名

数量场

类型

分布状态

定义域

（-∞，+∞）

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标量场的等值面标量场的方向导数标量场的梯度标量场和矢量场

定义

当研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态时，数学上只需用一个代数量来描绘，这些代数量（即标量函数）所定出的场就称为数量场，也称标量场。[1]最常用的标量场有温度场，电势场，密度场，浓度场等等[2]。

标量场的等值面

定义

一个标量场

可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将

表示为

。

令

，其中

是任意常数，则该式在几何上表示一个曲面，在这个曲面上的各点，虽然坐标

不同，但函数值相等，称此曲面为标量场

的等值面。随着

的取值不同，得到一系列不同的等值面。同理，对于由二维函数

所给定的平面标量场，可按

得到一系列不同值的等值线。

方向导数是一个数梯度是一个向量对吗

梯度的方向是根据标量场中某一点上的梯度指向标量场增长的方向而确定。梯度，是一个矢量，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向变化最快，变化率最大，在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数。

用等高线地图来解释比较合适，等高线相当于函数值相同的一圈一圈的线，等高线任意点都有切线所谓的法方向就是切线的垂直方向，也就是梯度方向。

?梯度方向的定义

梯度方向导数的定义（方向导数反映了函数在某点上沿某个方向的变化率；方向导数的正负号表示函数的增减性，方向导数的大小表示变化的快慢）。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的特殊情况。

这句话当然是正确的

方向导数和梯度这两个概念

经常是一起出现的

方向导数就是对某一方向求导得到的导数

而梯度是一个向量，也就是方向

函数在该点处的方向导数

就沿着该梯度方向取得最大值

即函数在该点处沿着该方向变化最快

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