现代数学的基本分支

现代数学的基本分支包括逻辑及集合论、代数学、分析学、拓朴学及几何学、机率论及随机数学、应用数学等。本文将为读者介绍这些分支的代表人物和主要内容。

逻辑及集合论是现代数学公理化的基础，代表人物有康托尔、希尔伯特。

代数学包括线性代数、群论、伽罗瓦理论、范畴论等，代表人物有阿贝尔、伽罗瓦、格罗滕迪克。

分析学包括实分析、复分析、泛函分析，以至在偏微分方程上的应用，代表人物有牛顿、莱布尼兹、柯西、魏尔施特拉斯、勒贝格。

拓扑学及几何学包括微分几何学、非欧几何、代数拓扑等，代表人物有高斯、黎曼、庞加莱、陈省身。

机率论及随机数学代表人物有白努利、高斯。

应用数学包括运筹学、信息论等。

数学类专业有：数学分析、高等代数、拓扑学、概率论与数理统计、实变函数论、抽象代数、数学物理方程、计算方法、解析几何等。

一、数学分析

又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。

数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。

二、高等代数

初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。

三、拓扑学

拓扑学(topology)，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

四、概率论与数理统计

主要内容包括：概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、统计量及其概率分布、参数估计和假设检验、回归分析、方差分析、马尔科夫链等内容。

概率论与数理统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。

五、实变函数论

实变函数论19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。

因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。

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