2025年成人高考专升本高数二备考笔记及知识点梳理

成人高考专升本需要考政治、外语和一门专业课程，报考成人高考专升本单科成绩满分为150分，经济学、管理学以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）等六个一级学科需要考政治、外语、高数（二）。

成人高考专升本高数二考点整理

考点1 古典概型

(1)古典概型

如果随机试验E的样本空间Ω具有如下特征：

①有限性--Ω中只含有有限个基本事件;

②等可能性——每个基本事件发生的可能性相同.那么称这样的随机试验对应的概率模型为古典概型。

如，掷硬币、掷骰子的试验等均属古典概型

(2)古典概型中随机事件的概率计算公式

设古典概型中随机试验E的样本空间Ω由n个基本事件组成，而随机事件A包含k(≤n)个基本事件，则事件A发生的概率为P(A)=k/n。

考点2 概率的公理化定义

设E为一随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称P(A)为事件A的概率，如果它满足下列条件：

(1)非负性：对任一事件A，有0≤P(A)≤1;

(2)规范性：P(Ω)=1，P(ϕ)=0;

(3)可列可加性：对于两两互斥的可列个随机事件A₁，A₂，…，An，…，有

P(A₁+A₂+…+An+…)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(An)+…

考点3 概率的性质

(1)0≤P(A)≤1，P(ϕ)=0.

(2)对于任意事件A，B有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

特别地，当A与B互不相容时，P(A∪B)=P(A)+P(B).

其可推广：对于任意事件A，B，C有

P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC) .

当A₁，A₂，…，An，互不相容时，

P(A₁∪A₂∪…∪ An) =P(A₁) +P(A₂) +…+P(A)，其中n为正整数.

(3)P(B-A)=P(B)-P(AB).

特别地，当ACB时，P(B-A)=P(B)-P(A)，且P(A)≤P(B).

(4)P(A')=1-P(A).

以上概率性质很重要.希望考生掌握这些性质，并会用它们进行概率的基本运算。

条件极值的求法

先构造拉格朗日函数：F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y).

求解方程组

Fₓ=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

Fᵧ=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

Fλ=ϕ(x,y)=0;

解出x,y,λ，则其中点(x,y)就是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能极值点的坐标.

求二元函数的无条件极值及极值点

求二元函数的无条件极值的步骤：

第一步：求fₓ(x,y)，fᵧ(x,y)，并解方程组fₓ(x,y)=0;fᵧ(x,y)=0求得一切驻点;

第二步：对于每一个驻点(x₀,y₀)，求出二阶偏导数的值A，B和C;

第三步：定出B²-AC的符号，判定点(x₀,y₀)是否是极值点，若是，判定是极大值点还是极小值点，并求出极值f(x₀,y₀).

求二元函数的条件极值

求二元函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值的方法与步骤：

方法一：化条件极值为无条件极值

第一步：从条件ϕ(x,y)=0中，求出y的显函数形式y=ψ(x);

第二步：将y=ψ(x)代人二元函数f(x,y)中，化为一元函数f[x,ψ(x)]的无条件极值;

第三步：求出一元函数f[x,ψ(x)]的极值即为所求.

方法二：拉格朗日乘数法

第一步：作拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)(入为拉格朗日乘数);

第二步：由函数F(x,y,λ)的一阶偏导数组成如下方程组

Fₓ(x,y,λ)=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

Fᵧ(x,y,λ)=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

Fλ(x,y,λ)=ϕ(x,y)=0;

第三步：求解上述方程组，得驻点(x₀,y₀,λ)，则点(x₀,y₀)就是函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能的条件极值点。

通常，判定所得点(x₀,y₀)是否为所给问题的条件极值点，常依据问题的实际意义判定：如果所求驻点唯一，且实际问题的确存在最大值(或最小值)，那么，所求点(x₀,y₀)就是满足条件的极大值点(或极小值点)，也是所给实际问题的最大值点(或最小值点)。

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