幂级数的理论意义和实际意义是什么啊,

幂级数的有关概念

定义6 具有下列形式的函数项级数 （1）称为幂级数.幂级数

特别地,在中令即上述形式化为 （2）称为 的幂级数.取为常数项级数,如收敛,其和为 取为常数项级数,如收敛,其和为 取为和函数项级数,总收敛,其和为 对幂级数主要讨论两个问题：（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数.幂级数的收敛域具有特别的结构 定理1：（i）如 在 收敛,则对于满足 的一切 ,都绝对收敛； （ii）如 在 发散,则对于满足 的一切 ,发散.证：（1）∵ 收敛 ∴ （收敛数列必有界） 而 为几何级数,当 即收 ∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛 （2）反证：如存在一点 使 收 则由（1） 收,矛盾.由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使 收敛； 发散,称R为收敛半径,（-R,R）为收敛区间.

幂级数的性质

定理 求幂级数的和函数：利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式

　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。　定义域和值域:　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　而只有a为正数，0才进入函数的值域　性质:　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;　　排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数;　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.　　可以看到：　　(1)所有的图形都通过(1，1)这点。　　(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。　　(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。　　(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。　　(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。　　(6)显然幂函数无界。

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