★物理中的空间、时空与数学中的空间具体区别都是什么？★

数学中的空间 物理空间概念的延伸和抽象。如欧几里得空间、双曲空间、黎曼空间、各种函数空间和拓扑空间等等。它们反映了人们对空间结构各种属性认识的发展。

最早的数学空间概念是欧几里得空间。它来源于对空间的直观，反映了空间的平直性、均匀性、各向同性、包容性、位置关系（距离）、三维性，乃至无穷延伸性、无限可分性、连续性等方面的初步认识。但在很长时期里，人们对空间的理解只局限于欧几里得几何学的范围，认为它与时间无关。19世纪20年代，非欧几何的出现突破了欧几里得空间是唯一数学空间的传统观念。非欧几里得几何的空间概念具有更高的抽象性，它与欧几里得空间统一成常曲率空间，而常曲率空间又是黎曼空间的特殊形式。19世纪中叶，G.F.B.黎曼还引进流形概念。这些概念不仅对物理空间的认识起了很大作用，而且也大大丰富了数学中的空间概念。

19世纪末20世纪初,人们给出了维数的拓扑定义,并对函数空间的度量性质进行深入研究，从而产生了一系列重要的数学空间概念，特别是一般的拓扑空间概念。20世纪30年代后，数学中的各种空间在数学结构的基础上得到统一处理，人们对各种数学空间获得较完善的认识，并随着对物理空间认识的深入以及数学研究的发展，从代数、几何、拓扑方面推广各种数学上的空间观念。在代数方面对空间概念的推广主要来源于解析几何的产生和发展。几何对象（点、线等）与数组结成对应关系，使人们可以对空间进行精确的定量描述。这样便容易把坐标三数组推广到坐标 n数组（向量），其所对应的空间即为 n维线性空间或向量空间。这种空间从维数上对欧几里得空间做了推广，但抽去了欧几里得空间中的距离概念。实数域上的线性空间通常可以推广到一般域上，特别是有限域上的线性空间成了只有有限多个点的空间，其空间的连续性也被舍弃了。从代数和几何方面，可以把空间推广成仿射空间和射影空间。射影空间可通过几何方法或坐标方法把无穷远点和无穷远线包括在内。另外，也可以通过数组、相空间、状态空间等等使各种空间成为物理学乃至其他科学处理运动的直观模型。

空间的更抽象形式是拓扑空间。由于拓扑结构反映点与点之间的亲疏远近关系，因而在拓扑空间中欧几里得空间的距离和向量空间的向量长度这些概念都被舍弃了。

人们对各种数学空间的研究，反映了人们从局部、粗浅的直观到更深刻地认识空间的各种属性的过程。例如，拓扑学的发展，使人们对空间的维数、连续性、开闭性、空间的有边和无边以及空间的定向都有了更深入、更本质的理解。流形的研究对于空间的有限与无限、局部与整体的认识也产生了飞跃。流形概念是空间概念的重要发展。它从局部上看是欧几里得空间，但从整体上看可以有各种形式。它可开可闭，可有边可无边。这种深刻的认识对于物理空间的研究有着推动作用。例如，闵可夫斯基空间是狭义相对论的数学模型，黎曼空间则成为广义相对论的数学模型（见相对论）。

数学上的空间

数学上，空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合，但不存在单称为“空间”的数学对象。在初等数学或中学数学中，空间通常指三维空间。数学中常见的空间类型：

仿射空间

拓扑空间

一致空间

豪斯道夫空间

巴拿赫空间

向量空间 （或称线性空间）

赋范向量空间 （或称线性赋范空间）

内积空间

度量空间

完备度量空间

欧几里得空间

希尔伯特空间

射影空间

函数空间

样本空间

概率空间

物理学中所说的时间与空间

蔡宗儒

引言

我们生活在这浩瀚的宇宙，很自然的就有时间与空间这两个概念。 我们看到山河大地宇宙万物，若没有空间，那么山河大地宇宙万物要如何安置呢？ 我们看到山河大地宇宙万物，若没有空间，那麽山河大地宇宙万物要如何安置呢？ 万物的变迁，事件的成、住、坏，有了过去、现在、未来之别。 万物的变迁，事件的成、住、坏，有了过去、现在、未来之别。 所以时间与空间是用来安置或排序一切的万事万物。 所以时间与空间是用来安置或排序一切的万事万物。 在我们日常生活中，时间与空间的重要性是无法言喻的。 在我们日常生活中，时间与空间的重要性是无法言喻的。 不仅如此，当我们透过科学尝试去描述、认识与了解大自然，时间与空间更是重要。 不仅如此，当我们透过科学尝试去描述、认识与了解大自然，时间与空间更是重要。 在物理学中，没有一个物理的方程式是不需要时间与空间的。 在物理学中，没有一个物理的方程式是不需要时间与空间的。 因此本文将以物理学中所说的时间与空间来做一个简单的介绍，内容包括牛顿的时间与空间，相对论的时间与空间。 因此本文将以物理学中所说的时间与空间来做一个简单的介绍，内容包括牛顿的时间与空间，相对论的时间与空间。

牛顿的时间与空间

牛顿认为空间是绝对的(absolute) ，时间也是绝对的，时间与空间是各自独立的存在着 。 在牛顿的 「自然哲学的数学原理」一书中，他给绝对的空间下定义:Absolute space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable . 「绝对的空间，本质是与外物无关的，是永久保持同样且静止的 。 」也就是说牛顿认为，绝对空间与物质的存在否以及存在物质的种种特性是无关的，是三维度的空间，遵循着欧氏几何的架构 。 在物理学描述空间的物理量有长度、面积、体积等等。 因为空间是绝对的 ， 所以在相对地面静止不动的观察者测量空间中 A 、 B 两点间的距离和相对地面在运动中(譬如在火车上 ，或是汽车上等 ) 的观察者测量 相同 A 、 B 两点间的距离是一样的。 换言之 ，若有一根棒子静置在地面上，相对地面静止不动的观察者去测量这根棒子的长度一定与在运动中的观察者所测量同一棒子的长度是一样的 。

牛顿也给绝对时间下定义: Absolute, true, and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external. 「绝对，真实和数学的时间，本质是稳定的流动与外物无关的 。 」如果时间是绝对的，相对地面静止不动的观察者去测量事件 A 和事件 B 的时距和 相对地面 运动中的观察者所测量这两事件的时距是一样的 。 换言之 ，若相对地面静止不动的观察者测量事件 A 、 B 是同时发生的，那么相对地面在运动中的观察者去测量事件 A 、 B 必然也是同时发生的 。

牛顿认为的时间与空间，具备「不受任何影响」的特质，所以是绝对的 。 因为是绝对的 ，所以具有共通和一致性，也就是说宇宙只有一个时间和一个空间， 而且时间与空间彼此是完全无关的。 时间与空间与万物无关 ，而万物存在时空中 。

相对论的时间与空间

爱因斯坦在西元1905年提出狭义相对论，彻底的颠覆了牛顿的绝对的时间与空间的观念 。 狭义相对论的基本假设之ㄧ是认定光在真空中走的速度大小是不变的。 也就是说 相对地面静止不动的观察者测量到的光速和相对地面在运动中的观察者测量到的光速是一样的 。 当时物理学家对光速不变的实验结果是非常迷惑的 ， 因为这个结果是违反牛顿的绝对时间与绝对空间。 爱因斯坦接受光速不变的实验结果 ，并把光速不变当成是一个根本假设 。 在此假设下他建立了狭义相对论。 狭义相对论告诉我们 ，所谓的两事件 A 、 B 是「同时」发生的同时，是相对的而不是如牛顿所说的绝对的 。 也就是说 相对地面静止不动的观察者测量两事件 A 、 B 是同时发生的， 相对地面 运动中的观察者去测量相同两事件 A 、 B 不会是同时发生的 。 狭义相对论告诉我们 ，若有两个全同的(identical)时钟，其中一个相对于我们是静止的，另一个相对我们是在运动的，那运动中的时钟会走的比静止的时钟慢 。 换言之 ，运动中的时钟走的一秒比静止时钟走的一秒要来的长 。 换言之 ，在空中飞行的飞机上的人的一秒和地面上行走的人的一秒是不一样的；即使在同一架飞机上，坐着的人的一秒和走动的人的一秒也不一样 。 狭义相对论称这个叫时间膨胀( time dilation ) 。 至此时间不再是绝对的而是相对的。 在空间方面 ，狭义相对论导出运动中的尺长度会收缩( length contraction ) 。 什么是 运动中的尺 长度收缩呢？ 若有一根尺静置在地面上，相对地面静止不动的观察者去测量这根尺的长度为 L 0 ，另一个沿着尺所指的方向运动的观察者测量同一尺的长度为 L ，则 L 会小于 L 0 。 也就是说在运动中的尺的长度会比同一尺静止时的长度来得短。 空间中不同两点间的距离 ，在不同座标系统的观察者所测到的距离是不同的， 所以空间不是绝对的而是相对的。 狭义相对论终结了牛顿的绝对时间与绝对空间。 狭义相对论对时间与空间的第二个冲击是 ，空间与时间透过光速不变而结合起来，时间与空间不能也不是彼此无关的 。

爱因斯坦的狭义相对论之所以称为狭义 ，是狭义相对论所研究物质运动的范畴不涉及万有引力，不考虑加速度的情况 。 然而在大自然中 ，任何物质必然受到万有引力的作用 。 爱因斯坦在西元1916年提出广义相对论， 广义相对论研究万有引力、时间-空间与物质的运动。 广义相对论认为 ， 时间-空间不是平坦的 ， 时间-空间会因为存在时空中的质量和能量的分布而被弯曲。 万有引力只不过是时间-空间不是平坦的所造成的结果。 广义相对论的时空是弯曲的 ，弯曲的程度是取决于万有引力的大小 。 也就是说只要有万有引力 ，四维时空就是弯曲的，万有引力越强的地方，时空弯曲的越严重，且 这弯曲的空间并不遵守 欧氏几何的架构 。 广义相对论也告诉我们 ，万有引力越强的地方时钟走的越慢 。 而万有引力是和物质的质量相关的。 所以在广义相对论 ，四维时空和物质是息息相关的 。在广义相对论发表以前 ，时空被认为是一个舞台，种种事件在其中发生，而这些事件并不会影响到时空 。 在广义相对论 ， 时空必须和物质连结起来 ，物质的运动会影响着时空；反过来说时空也影响着物质的运动 。

除了相对论 ， 二十世纪物理学的另一个伟大的发展是量子力学。 量子力学告诉我们基本粒子(如电子 、夸克等)具有粒子波动二元性。 我们没有办法同时淮确的得到微小粒子的位置和速度 ，这称之测不淮原理 。那么在微小粒子的世界 ， 相对论和量子力学要怎么整合在一起呢？ 为了解决这问题 ， 物理学家正在发展量子引力理论。

物理学家想要发展一种能描述整个宇宙的理论 。 物理学家所采取的方式是将整个宇宙的问题分成许多小部份(界定研究范畴) ，并且在这些研究范畴内发明理论 。 每一理论描述和预测都有其范围限制。这好像是瞎子摸象般 ，要把部分所得的理论重组起来 。 更甚的是假如宇宙中的每一事件彼此都是相关 ，不可分割的，那么物理学家所采取的方法可能是错误的 。 让我们回到物理学的时间 与 空间。 我们要注意的是物理学所使用的物理量(例如长度、质量、时间等等)都是操作型定义 ，也就是说要经由种种条件(操作)后才定义出这些量 。若问物理学家时空的本质是什么？ 物理学家更有兴趣的问题是光速为何是不变的呢？ 物理学家以 时间与空间是用来安置或排序一切的万事万物。 时间与空间都是相对的，没有一个绝对的时间也没有一个绝对的空间 。 时间与空间彼此不是独立的 ， 而是相关的 ，所以就称为时空 。时空是相对的不是绝对的 ，就表示时空有无限多，每个物体都有其各自的时空 。此外时空 与物质是紧密相关的，离开物质而谈时空是没有意义的 。

从零维空间到四维空间

——浅谈几何中的纯概念研究

（马利进 陇东学院数学系 甘肃庆阳 745000）

摘要

几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。

关键词

零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。

正文

n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾今是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元素，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。

1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说：

我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。

然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。

经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。

以上是n维几何发展的曲折历程，以下是n维几何发展的一些具体过程。

首先，我们将点看作零维空间，直线看作一维空间，平面看作二维空间，并观察以下公设：

属于一条直线的两个点确定这条直线。 1.1

属于一条直线的两个平面确定这一条直线。（比较这个公设和公设1.1）。 1.2

属于同一个点的两条直线也属于同一个平面。（公设1.2的推论） 1.3

属于同一个平面的两条直线，也属于同一个点。 1.4

可以推断出：

1. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维的空间。例如：两个点（我们将它们看作两个零维空间）确定一条直线（一维空间）。属于同一个点（规定的条件）的两条直线（两个一维空间）也属于同一个平面（二维空间）。

2. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，也可以确定一个低一维的空间。例如：两个平面（两个二维空间）确定一条属于它们的直线（一维空间）。属于同一平面（限定的条件）的两条直线（两个一维空间）确定一个点（零维空间）。

3. 结论2没有包括这一事实，即两个平面可以确定一个高一维的空间。它只假定它们确定一条直线，这是比平面低一维的空间。这就留下了一个把我们的思想引申到高维空间的缺口。这个缺口的消除可在推论1.3“属于同一个点的两条直线也属于同一个平面”中，用几何元素直线、平面和三维空间依次的代替几何元素点、直线和平面来达到。

下面的推论是替换的结果。属于同一条直线的两个平面也属于同一个三维空间。

有了这个新的推论，我们就把与其他几何元素直接对应的几何元素——三维空间也包括了。

下一步是把对偶原理应用于这一推理，并从这些新引申的推论中得到一些固有的结论。在对偶原理将通过几何元素——平面和空间的位置交换而被应用。这时我们得到下述推论：

属于同一条直线的两个三维空间也属于同一个平面。 1.5

从推论1.5我们可以得到下述公设：

属于一个平面的两个共存的三维空间确定这一个平面。 1.6

在上述1.5和1.6的基础上，可以提出下面的看法：

1. 四维空间的几何条件是很明显的，因为维数相同的两个已知空间，只能共存于比它们高一维的空间里。例如：两条不同的共存直线（一维）位于一个平面内（二维）；两个不同的共存平面(二维)（沿一直线共存）位于一个三维空间里；两个不同的共存三维空间（沿一个平面共存）位于一个四维空间里。

2. 在几何上被看作是不属于同一直线而相交于一点的两个平面，属于不同的各别的三维空间。

四维空间的概念也可以通过解析几何的手段来研究。在那里我们可以利用代数方程来表示几何概念。为了利用这个手段进行观察以导致对四维空间的理解，我们来研究三维空间体系中的三个几何元素——点、直线和平面的方程。利用笛卡尔系统表示，我们可以写出：

点的方程：ax + b = 0 （坐标系：直线上的一个点）。

直线的方程：ax + by + c = 0 （坐标系：平面上的两条正交直线）。

平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐标系：三维空间的三个互相垂直的平面)。

从上面的研究我们可以看出：

所表示的每一个几何元素（或空间）的方程中的变量数目，等于这个空间的维数加1。

坐标系中的几何元素与被表示的几何空间的几何元素的维数相同。

在这个坐标系中，几何元素的数目等于被表示的空间的维数加1。在坐标系中，几何元素的这个数目是最低要求。

用来表示几何元素的坐标系，位于比它所含有的几何元素高一维的空间里。

根据上述观察，我们可以写出三维空间的下述方程。应当注意：这个方程有四个变量（x、y、z、u）。

ax + by + cz + du + e = 0

现在我们可以断定：

1. 这个坐标系的几何元素有三维，即它们是三维空间。

2. 在这个坐标系中有四个三维空间。

3. 这个坐标系位于一个四维空间里。

我们对于四维空间乃至更高空间的研究，不是通过实验总结的方式，在现实中我们很难发现并推导出它们的一般规律，对于这些问题，我们可以采取一种新的研究方式。即：纯概念的研究。通过这种方式，我们可以容易的推导出这些很重要但在现实中不易想象的新内容。

宇宙：当下所处的环境的外围统称。

空间：可以容纳物质的有效容积体。

维度：如点、线、面、立体等，点为0维度，线为1维度，面为2维度，立体为3维度。

次元：现实物质，去掉或多出一种属性所具备的空间属性。

面位：完全高于或低于现状生活环境的生活环境，如神话中的凡间与天界就是现在所说的高低面位。

时空：同一生存环境不同的时间节点为时空。如今天和昨天是同一环境下的不同时空

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