高等数学 函数极值点和驻点的区别

1、什么是函数的极值点？

对于函数y=f(x)来说，在其定义域内一点x0处的邻域内，除x0外所有函数的值都大(小)于f(x0)，则称x=x0为函数的一个极小（大）值点，f(x0)称为函数地极小（大）值；

2、什么是函数的驻点？

函数y=f(x)在区间A上连续并且可导，则若f'(x0)=0，则称x0为y=f(x)的一个驻点。驻点就是使导数等于0的解。

3、极值点与驻点的关系：

（1）函数y=f(x)连续可导，若x=x0是函数的极值点，则f'(x0)=0.

即在函数可导的前提下，“x=x0是函数的极值点”是"f'(x0)=0"的充分不必要条件；

例如：f(x)=x^3.则f'(x)=0，得x=0,但x=0却不是极值点；

在函数可导的前提下，有些驻点是的极值点，有些却不是。只有当驻点左右两侧的导数值的符号相反时，该驻点一定是极值点，否则不是极值点。

（2）如果函数不知是否可导，则两者没有什么关系的。

例如：y=|x|在x=0处不可导，但x=0却是一个极小值点。

驻点和不可导点有什么区别？学高数中，求解各位

驻点是一阶导数为0的点，所以驻点不能是不可导点，必须是导数存在，且等于0的点。

驻点不一定是极值点，比方说y=x?这个函数，x=0处的一阶导数为0，是这个函数的驻点，但是不是这个函数的极值点，这个函数是个单调递增函数，没有极值点。

极值点是函数单调性发生变化的点，从单调递增变成单调递减的点是极大值点；从单调递减变成单调递增的点是极小值点。

如果极值点是可导的点，那么一阶导数一定为0，即可导的极值点一定是驻点。但是极值点完全可以是不可导的点，比方说y=|x|，这个函数，在x=0点处，函数从从单调递减变成单调递增，是极小值点，但是这个函数在x=0点处不可导，左右导数不相等。不是驻点。

所以两者的区别是，驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。

驻点关注的是，一阶导数的值为0，不关注函数的单调性变化。

极值点关注的是函数的单调性变化，不关注一阶导数是否一定存在。

1.函数在某点没定义，一定是不连续也不可导的。

2.函数在某一点可导需要同时满足下面三个条件：（1）左导数存在；（2）右导数存在；（3）左导数=右导数。三者缺一不可，所谓不可导点就是不同时满足上述三个条件的点。不可导点的情形如安鲁克所言。

3.驻点是一阶导数等于零的点，它是可导点集合的一个子集。驻点处函数的单调性可以改变（多数情形），也可以不改变（如y=x?或y=x^(1/3)之x=0处）

4.极值点既可以是驻点，也可以是不可导点（如锐角尖点的全部、直角尖点的部分）。驻点既可以是极值点，也可以不是极值点（如y=x?之x=0点）。驻点和极值点是集合相交的关系，不是集合包含的关系。

5.函数在某一点可导，必然连续，反之，函数在某点连续，不一定可导（如尖点，无论锐角尖点，还是钝角、直角尖点）。

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