函数的极值与最值有什么区别?

关于极值的精确定义，大致有两处是可以存在争执的。这里，将以下极小值的定义作为标准格式，函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 的 [公式] ，有 [公式] 。现在，我们可以说：

首先，若 [公式] 的定义域存在端点 [公式] ，则上述定义使得 [公式] 永远不可能在 [公式] 点处取到极值。这样，我们考虑函数 [公式] 在整个定义域上的最值时，就必须说 [公式] 的最值可能在极值点或端点处取得；因此，一些人认为可以将“对于所有满足 [公式] 的 [公式] ”替换为“对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ”，这样，对于 [公式] 定义域的某个端点 [公式] ，只要 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 的某个邻域上“ [公式] 有定义的点”中的最小值，就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值，比如考虑区间 [公式] 上的函数 [公式] ，依照这个定义就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值。这么说的好处在于函数的最值永远是极值，但是缺陷在于不能直接说可微函数的极值总在驻点处取得了——现在只有在定义域是 [公式] 上的开集时，这个定理才成立。

其次，原始定义不令人满意的地方还有它将常数函数每一点都当作极值处理了。为了避免这样的处理，一些人建议将极值的定义条件改为在去心邻域上满足严格序关系，也就是说将“ [公式] ”这部分替换为“若 [公式] ，则 [公式] ”，也就是题主所说的不取等号的定义。当然，这么改也是有争议的，因为比如考虑常数函数，一般我们还是接受常数函数在每一点都取到最值的，因此如果接受上述更为严格的极值定义，就会出现在函数在既不是极值也不是端点的点取到最值的特殊情况，而那些处理最值和极值的定理就会出现一些额外的特例。同时，还会有其他更为特殊的函数，比如 [公式] 这样在 [公式] 一侧取值为常数而另一侧不是的，那么它是否在 [公式] 处取到极值依然是一个值得商榷的问题。

这样来说，基于对于问题1和问题2的不同选择，能够写出一共四种不同的极限定义，这四种中很难说哪种是绝对的主流，因而在教材中看到哪种都不应该奇怪。

依我个人的喜好，其实最倾向于最为宽松的定义方式，也就是说在问题1中选择修改，在问题2中选择不修改，也就是函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ，有 [公式] 。这样选择的原因在于考虑了对于更为普遍的情况，即对从任意拓扑空间到任意全序集的函数定义极值的情况。考虑函数 [公式] ，其中 [公式] 是拓扑空间， [公式] 是全序集，那么我们可以定义 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 的开邻域 [公式] 满足对于所有 [公式] ，有 [公式] 。这里无法区分 [公式] 在与不在端点的情况，因为拓扑空间本身就无法区分这一点：考虑区间 [公式] 作为 [公式] 的子拓扑空间，则 [公式] 在该拓扑空间中同样有形如 [公式] 的开邻域，尽管 [公式] 在母空间总并非开集，但单纯对于子空间 [公式] 来说它也是和 [公式] 一样的开区间。

另外，拒绝问题2中的修改的原因在于，若应用在更一般的空间中，比如考虑从 [公式] 到 [公式] 的集合，那么严格序关系的要求就显得过于苛刻了。比如说，考虑多元函数 [公式] ，它在 [公式] 轴正方向上取常数 [公式] ，但在其他方向的截面上 [公式] 都是函数的极小值点。如果使用去心邻域上的严格序关系定义，因为 [公式] 任何一个去心邻域一定包括 [公式] 轴正方向的一段，则点 [公式] 无法被称为 [公式] 的一个极小值点。这样仅仅因为 [公式] 轴正方向的缘故将 [公式] 从定义中排除，难免显得有点过分咬文嚼字。

当然，若是单纯考虑实函数的情景，则两个问题上的各自两种选择都算是各有好坏，所以难免看到选择其中任意一种定义的教材/文本。在这样的情况中，只要选择依照给定的定义为准，如上文对定义之间区别所说的那样对自己平时认知中的极值额外排除/包括一些特例，就可以正常地使用文本中的定义去理解后续的内容的。

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