初中数学公理是什么

1.过两点有且只有一条直线 2.两点之间线段最短

3.同角或等角的补角相等 4.同角或等角的余角相等

5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9.同位角相等，两直线平行 10.内错角相等，两直线平行 11.同旁内角互补，两直线平行 12.两直线平行，同位角相等 13.两直线平行，内错角相等 14.两直线平行，同旁内角互补

15.定理：三角形两边的和大于第三边 16.推论：三角形两边的差小于第三边

17.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18.推论1：直角三角形的两个锐角互余

19.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21.全等三角形的对应边、对应角相等

22.边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23.角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24.推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25.边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等

26.斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42.定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形

43.定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48.定理：四边形的内角和等于360° 49.四边形的外角和等于360°

50.多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51.推论：任意多边的外角和等于360°

52.平行四边形性质定理 1：平行四边形的对角相等 53.平行四边形性质定理 2：平行四边形的对边相等 54.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等

55.平行四边形性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分

56.平行四边形判定定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57.平行四边形判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58.平行四边形判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 59.平行四边形判定定理 4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60.矩形性质定理 1：矩形的四个角都是直角 61.矩形性质定理 2：矩形的对角线相等

62.矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 63.矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 64.菱形性质定理 1：菱形的四条边都相等

65.菱形性质定理 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66.菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（a×b）÷2 67.菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形

68.菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69.正方形性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70.正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71.定理1：关于中心对称的两个图形是全等的

72.定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73.逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74.等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等 75.等腰梯形的两条对角线相等

76.等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

释义

①经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。

②某个演绎系统的初始命题，这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且是推出该系统内其他命题的基本命题。

2解释

①根据基本事实和人类理性而共同约定、遵守的基本命题。

②在一个系统中已为实践反复证明而被认为无须再证明的基本事实。如“等量加等量其和相等”，就是公理。

3实例

（a）传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”，就属于这种判断。

（b）在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：

① 等于同量的量彼此相等。

② 等量加等量，其和相等。

③ 等量减等量，其差相等。

④ 彼此能重合的物体是全等的。

以下是常用的等量公理的代数表达：

①如果a=b，那么a+c=b+c。

②如果a=b，那么a－c=b－c。

③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。

④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。

⑤如果a=b，b=c，那么a=c。

4公理系统

公理系统（axiomatic system）就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。公理化的实现就是：①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点[1] 。

公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题[2] 。

例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。

公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性（无矛盾性）、完全性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的

由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识。

在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的。因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的。有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导，如1+1=2。

一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

5公理集合论

公理集合论（axiomatic set theory）是数理逻辑的主要分支之一。是用公理化方法重建（朴素）集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。1908年，E.策梅洛首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论。20世纪20年代，A.弗伦克尔和A.斯科朗对此予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛—弗伦克尔公理系统，简记为ZF。ZF是一个形式系统，建立在有等词和关系符号“∈”（与朴素集合论中的属于关系相对应）的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。如果另加选择公理（AC），则所得到的公理系统简记为ZFC。现已证明：ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具。[3] 但是由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的[4] 。由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明[4] 。

由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性。此外，一些重要的命题，如连续统假设也是在ZF中不可判定的。寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理集合论研究的两个出发点。1963年，美国学者P.科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题 。

详细请参考http://wenku.baidu.com/link?url=D0h-FgV56AtOEYD4jof261gOQkoCBxD640xwOQJTKBsehlYFwDANYBSd0zzeyQ0bhRHv0vLG78WclqPqXPxCCt3SvnZtUuiKdEhYRg3tQ4e

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